Интегриране чрез заместване: специално приложение

Даден е неопределен интеграл от х плюс 3, умножено по х минус 1 на пета степен, dx. Бихме могли да го решим директно, като просто повдигнем х минус 1 на пета степен например чрез биномната теорема. Това би отнело известно време. След това ще умножим резултата по х плюс 3 и ще получим някакъв полином. Така може да намерим примитивната функция. Или може да използваме заместване, което би опростило дадения израз. Тоест да го приведем към нещо, на което е малко по-лесно да намерим примитивната функция. В тази задача няма да приложим традиционното интегриране със заместване, при което просто полагаме (заместваме) u да е равно на нещо и проверяваме дали производната на u също присъства в израза. Това обаче ще бъде разновидност на интегрирането със заместване, при която полагаме u да е равно на нещо и проверяваме дали и как се опростява дадения израз. Нека го направим. Разглеждаме х минус 1 на пета степен. Това ще бъде много трудно да се развие. Щеше да е много удобно, ако този израз е равен само на u на пета. Нека тогава да положим този израз да е равен на u. Нека положим u да е равно на х минус 1. В този случай du е равно на dx. Записваме го като du/dx е равно на 1. Производна от х е 1, а производна от минус 1 е 0. Следователно тези две твърдения са напълно еквивалентни. След като установихме това, как може да преобразуваме дадения израз? Ще бъде равно на следния интеграл. Имаме х плюс 3 ето тук. Това нито е равно на u, нито е равно на du. Нека видим какво може да направим. След като u е равно на х минус 1, то може да прибавим 1 към двете страни на това уравнение. Тогава получаваме u плюс 1 е равно на х. Следователно за х може да заместим израза u плюс 1. Нека го направим. Все едно заместваме обратно за х. х е равно на u плюс 1. Проверявам дали мога да направя нещо, за да опростя този израз. х е равно на u плюс 1, а след това имаме ето това плюс 3. Умножаваме по х минус 1 на пета. х минус 1 обаче е u. Това е опростяването, което искахме да направим. Тоест умножено по u на пета степен. А dx е същото нещо като du. Записваме du. Какво получихме сега? Може ли да опростим допълнително този израз до такъв, на който лесно да намерим примитивната функция? Изглежда, че вече сме го направили. Нека да видим. Може да го запишем ето така. Този израз тук е равен на u плюс 4. u плюс 4. Умножаваме по u на пета, du. Засега записвам всичко с един цвят. Причината да е опростен сега изразът, е, че х минус 1 на пета степен ще бъде много трудно да се развие. u на пета обаче е равно просто на u на пета. След това х плюс 3 се промени на u плюс 4, което отново е доста лесен израз. Сега може просто да разкрием скобите и да умножим по u на пета. Получава се u на шеста степен плюс 4 по u на пета, du. На този израз е много лесно да изчислим антипроизводната. Сега може би ще попиташ: "Хей, Сал, как се досети да положиш u да е равно на този израз?". Често пъти интегрирането ще е съпроводено с известна доза проба и грешка. Донякъде си е вид изкуство. Тук преминахме през следните разсъждения: х минус 1 на пета може наистина да ни затрудни. Може би ако имаме u на пета ще опростим дадения израз. И ето, че това проработи. Можеше да опитаме с u равно на х плюс 3. Но нямаше да се опрости толкова добре, както когато u е равно на х минус 1. Нека обаче да си довършим този интеграл. Ще бъде равен на примитивната функция от u на шеста, което е просто u на седма върху седем, плюс примитивната функция от u на пета, което е равно на u на шеста върху 6. Имаме обаче 4 отпред, т.е. записваме 4 по u не шеста върху 6. Накрая прибавяме константа C. 4/6 е същото нещо като 2/3. Тогава може да запиша всичко като равно на u на седма върху 7 плюс 2/3 по u на шеста, плюс C. Сега следва само да заместим обратно израза за u. u е равно на х минус 1. Тогава получаваме х минус 1 на седма върху 7 плюс 2/3 по х минус 1 на шеста, плюс C. И сме готови. Успяхме да решим трудна задача – или поне такава, която да стане трудна, ако трябваше да развием този израз – и да намерим примитивната функция, като използвахме интегриране със заместване. А след това заместихме обратно израза за u.