Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 13: Интегриране чрез заместване- Интегриране чрез заместване: въведение
- Интегриране чрез заместване: умножение с константа
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
- Интегриране чрез заместване
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: рационална функция
- Интегриране чрез заместване: логаритмична функция
- Интегриране чрез заместване: упражнения за затвърдяване
- Интегриране чрез заместване: неопределен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване на определени интеграли
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл от показателна функция
- Интегриране чрез заместване: специално приложение
- Интегриране чрез заместване: двойно заместване
- Интегриране чрез заместване: по-сложно приложение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
Често срещано предизвикателство при интегриране чрез заместване е да се избере коя част да бъде 𝘶.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В настоящия урок ще се упражняваме
да разпознаваме кога да използваме интегриране със заместване и да избираме
подходящ израз за u. Нека е даден неопределеният интеграл от натурален логаритъм от х на десета степен. Всичко това е върху х, dx. Приложимо ли е тук
интегриране със заместване и ако да, то как ще го приложим? Ключовото нещо за интегриране
със заместване е да открием имаме ли дадена функция
и нейната производна. Тук веднага може да се досетиш, че производната на натурален
логаритъм от х е равна на 1/х. За да стане малко по-ясно, мога да запиша интеграла
по следния начин. Интеграл от натурален логаритъм
от х на десета, умножено по 1/х, dx. Ето сега вече се вижда. Имаме някаква функция,
т.е. натурален логаритъм от x, която е повдигната на
десета степен. Имаме обаче и производната ѝ
ето тук, която е равна на 1/х. Следователно може
да използваме заместваме. Може да изберем u да е равно на натурален
логаритъм от х. Причината да избера
натурален логаритъм от х е, че виждам ето този израз,
който е точно производната му. Нещо близко до производната му,
а в този случай дори точно производната му. След това мога да запиша du/dx е равно на 1/х. Което означава, че du е равно на 1/x, dx. Ето, че заместихме. Този израз тук е du, а този ето тук, е равен на u. Тогава даденият интеграл
се опростява до интеграл от u на десета степен, умножено по du. Сега ще изчислим на какво
е равен интеграла, т.е. ще намерим
примитивната му функция. След това ще заместим обратно
u с натурален логаритъм от х, за да изчислим първоначалния
интеграл. Нека да решим друг пример. Нека да кажем, че е даден интеграл от следното нещо. Нека да направим нещо интересно тук. Нека е даден интеграл от
тангенс от х, dx. Приложимо ли е
интегриране със заместване тук? На пръв поглед забелязваш,
че имаме само тангенс от х. А къде е производната му? Интересното нещо обаче, което
може да направим, е да запишем функцията тангенс,
изразена чрез синус и косинус. Следователно записваме израза
като интеграл от синус от х, върху косинус от х, dx. Може би сега ще попиташ: "А как да приложим
интегриране със заместване тук?". Има няколко начина,
по които да се разглежда. Може да кажем, че производната
на синус от х е косинус от х. Сега обаче делим на производната, а следва да умножаваме по нея. По-интересното обаче е, че производната на косинус от х
е равна на минус синус от х. Нямаме минус синус от х тук, но може да преобразуваме малко
дадения израз. Може да умножим два пъти
по минус 1. Може да кажем, че имаме минус
от минус синус от х – като избирам единия минус да е изнесен пред интеграла, защото това следва директно
от свойствата на интегрирането. Това е еквивалентен израз
на дадения. Мога да запиша минус извън
интеграла и минус под интеграла, така че числителят да е равен
на производната от косинус от х. Сега има нещо интересно. Нека всъщност да запиша
интеграла ето така. Това ще бъде равно на минус интеграл от 1 върху косинус от х, умножено по минус
синус от х, dx. А сега досещаш ли се с какво
можем да положим (заместим) за u? Имам косинус от х в знаменателя, а имам и производната му. Тогава какво ще се получи, ако избера
u да е равно на косинус от х? u е равно на косинус от х. Тогава du/dx ще бъде равно на минус
синус от х. Следователно du е равно на минус
синус от х, dx. Ето така се получава, че имаме
du ето тук, а ето това разбира се, е избраният
израз за u. И сега целият интеграл
се опростява. Равно е на минус неопределен интеграл от 1/u, умножено по du. Което е много по-лесен за
решаване интеграл. След като го решим, ще заместим обратно
u с косинус от х.