Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 13: Интегриране чрез заместване- Интегриране чрез заместване: въведение
- Интегриране чрез заместване: умножение с константа
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
- Интегриране чрез заместване
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: рационална функция
- Интегриране чрез заместване: логаритмична функция
- Интегриране чрез заместване: упражнения за затвърдяване
- Интегриране чрез заместване: неопределен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване на определени интеграли
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл от показателна функция
- Интегриране чрез заместване: специално приложение
- Интегриране чрез заместване: двойно заместване
- Интегриране чрез заместване: по-сложно приложение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Интегриране чрез заместване: определен интеграл
Когато използваме заместване в определен интеграл, трябва да се уверим, че сме определили правилно границите на интегриране.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В настоящия урок ще се упражняваме да интегрираме със заместване
определени интеграли. Нека е даден следният интеграл. Границите са от х равно на 1
до х равно на 2. Интеграл от 2 по х, умножено по х квадрат плюс 1
на трета степен, dx. Вече споменах, че ще интегрираме
със заместване, но е важно да можем да разпознаем
кога това е възможно. Ключово нещо в дадения израз е, че имаме х квадрат плюс 1
на трета степен. A след това имам и производната
на х квадрат плюс 1, която е равна на 2х, ето тук. Следователно мога да направя
полагането (заместването). Нека запишем, че u е равно на х квадрат плюс 1. В такъв случай производната
на u спрямо х е равна на 2 по х плюс 0,
т.е. само на 2х. Можем да го запишем
в диференциален вид. Приемаме, че може да умножим двете страни по dx. Получава се, че du е равно
на 2х, dx. Ето тази част от интеграла мога да запиша ето така. Нека го запиша. Получава се следното. Записвам интеграл. След момент ще стане дума
за границите. Имаме u на трета степен. Ще използвам същия оранжев цвят. u на трета степен. Това е този израз ето тук. След това имаме 2х, умножено по dx. Даденият израз е 2х, умножено по х квадрат плюс 1
на трета, dx. Ето тук имаме 2х, dx. 2х, умножено по dx,
е равно на du. Тоест този и този член заедно
са равни на du. Следва интересен въпрос. Имаме определен интеграл и поради това не търсим само
примитивната функция. Имаме даден определен интеграл. Какво се случва с границите
на интегриране? Има два начина, които може
да използваш. Може да смениш границите
на интегриране. Долната е х равно на 1, а горната
е х равно на 2. Сега обаче интегрираме спрямо u. Един от начините да запазим
границите или да изчислим интеграла
като определен, така да се каже, е да смениш границите
от u е равно на нещо до u равно на нещо друго. Нека да ги изчислим. Когато х е равно на 1, на какво
е равно u? Когато х е равно на 1 имаме 1 на квадрат плюс 1, което означава, че u е равно на 2
в този случай. Когато х е равно на 2, на какво
е равно u? Имаме 2 на квадрат, което е 4, плюс 1, което ни дава 5. Тогава u е равно на 5. Обикновено няма да срещнеш
записано u равно на 2 и u равно на 5. Често ще бъде само от 2 до 5, защото интегрираме спрямо u. Предполагаме, че границите са
от u равно на 2 до u равно на 5. Следователно можем да запишем, че това е равно на интеграл
от 2 до 5, от u на трета, du. Наистина е важно обаче
да разберем защо сменихме границите. Сега интегрираме спрямо u, защото направихме полагане ето тук. Когато х е равно на 1,
u е равно на 2. Когато х е равно на 2 имаме 2 на квадрат плюс 1
и u е равно на 5. Сега може просто да изчислим
получения интеграл. Ще бъде равно на следното. Антипроизводна от u на трета е равно на u на четвърта
върху четири. Ще изчислим този израз
за 5 и за 2. Получава се 5 на четвърта
върху 4 минус 2 на четвърта върху 4. Ако искаме, можем да опростим
този израз. Вече изчислихме определения
интеграл. Друг начин да го решим
е да се опитаме да решим неопределения
интеграл спрямо х, и да интегрираме със заместване
като междинна стъпка. Може да го разгледаме по
следния начин. Нека опитаме да изчислим
на какво е равно неопределен интеграл
от 2 по х, умножено по х квадрат плюс 1
на трета степен, dx. Каквото и да получим алгебрично за този израз, ще го изчислим за х
равно на 2 и за х равно на 1. След това интегрираме
със заместване и получаваме следното. Като използваме горното полагане
ще се опрости до интеграл от u на трета степен, du. u на трета степен, du. Отново напомням,
че ще изчислим целия този израз
за х равно на 2 и ще извадим от него същия израз, изчислен
за х равно на 1. Това ще бъде равно на следното: u на трета, du е равно на
u на четвърта върху 4. Ще го изчислим за х
равно на 2 и след това от него
ще извадим х равно на 1. Сега може отново да заместим това,
което сме положили. Достатъчно е да вземем предвид, че u е равно на х квадрат плюс 1. Следователно това е същото
нещо като х квадрат плюс 1 на четвърта степен, върху 4. Сега ще изчислим този израз за х равно на 2 и за х равно на 1. И ще видиш, че ще получиш абсолютно същия резултат. Когато заместим х равно на 2, получаваме 2 на квадрат плюс 1,
което е равно на 5, на четвърта степен върху 4. Тоест
това число ето тук. Следва минус 1 на квадрат плюс 1, което е 2 на четвърта степен
върху 4, т.е. това число тук. И по двата начина се получава
един и същи резултат. Може да го решиш като
определен интеграл и след това да смениш границите
на интегриране, като ги изразиш спрямо u. Това е един от начините. Другият начин е да изчислиш неопределения интеграл, като интегрираш със заместване
като междинна стъпка, а след това да заместиш обратно
положеното за u и да го изчислиш за дадените
граници.