If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 13: Интегриране чрез заместване

Интегриране чрез заместване: определен интеграл

Когато използваме заместване в определен интеграл, трябва да се уверим, че сме определили правилно границите на интегриране.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В настоящия урок ще се упражняваме да интегрираме със заместване определени интеграли. Нека е даден следният интеграл. Границите са от х равно на 1 до х равно на 2. Интеграл от 2 по х, умножено по х квадрат плюс 1 на трета степен, dx. Вече споменах, че ще интегрираме със заместване, но е важно да можем да разпознаем кога това е възможно. Ключово нещо в дадения израз е, че имаме х квадрат плюс 1 на трета степен. A след това имам и производната на х квадрат плюс 1, която е равна на 2х, ето тук. Следователно мога да направя полагането (заместването). Нека запишем, че u е равно на х квадрат плюс 1. В такъв случай производната на u спрямо х е равна на 2 по х плюс 0, т.е. само на 2х. Можем да го запишем в диференциален вид. Приемаме, че може да умножим двете страни по dx. Получава се, че du е равно на 2х, dx. Ето тази част от интеграла мога да запиша ето така. Нека го запиша. Получава се следното. Записвам интеграл. След момент ще стане дума за границите. Имаме u на трета степен. Ще използвам същия оранжев цвят. u на трета степен. Това е този израз ето тук. След това имаме 2х, умножено по dx. Даденият израз е 2х, умножено по х квадрат плюс 1 на трета, dx. Ето тук имаме 2х, dx. 2х, умножено по dx, е равно на du. Тоест този и този член заедно са равни на du. Следва интересен въпрос. Имаме определен интеграл и поради това не търсим само примитивната функция. Имаме даден определен интеграл. Какво се случва с границите на интегриране? Има два начина, които може да използваш. Може да смениш границите на интегриране. Долната е х равно на 1, а горната е х равно на 2. Сега обаче интегрираме спрямо u. Един от начините да запазим границите или да изчислим интеграла като определен, така да се каже, е да смениш границите от u е равно на нещо до u равно на нещо друго. Нека да ги изчислим. Когато х е равно на 1, на какво е равно u? Когато х е равно на 1 имаме 1 на квадрат плюс 1, което означава, че u е равно на 2 в този случай. Когато х е равно на 2, на какво е равно u? Имаме 2 на квадрат, което е 4, плюс 1, което ни дава 5. Тогава u е равно на 5. Обикновено няма да срещнеш записано u равно на 2 и u равно на 5. Често ще бъде само от 2 до 5, защото интегрираме спрямо u. Предполагаме, че границите са от u равно на 2 до u равно на 5. Следователно можем да запишем, че това е равно на интеграл от 2 до 5, от u на трета, du. Наистина е важно обаче да разберем защо сменихме границите. Сега интегрираме спрямо u, защото направихме полагане ето тук. Когато х е равно на 1, u е равно на 2. Когато х е равно на 2 имаме 2 на квадрат плюс 1 и u е равно на 5. Сега може просто да изчислим получения интеграл. Ще бъде равно на следното. Антипроизводна от u на трета е равно на u на четвърта върху четири. Ще изчислим този израз за 5 и за 2. Получава се 5 на четвърта върху 4 минус 2 на четвърта върху 4. Ако искаме, можем да опростим този израз. Вече изчислихме определения интеграл. Друг начин да го решим е да се опитаме да решим неопределения интеграл спрямо х, и да интегрираме със заместване като междинна стъпка. Може да го разгледаме по следния начин. Нека опитаме да изчислим на какво е равно неопределен интеграл от 2 по х, умножено по х квадрат плюс 1 на трета степен, dx. Каквото и да получим алгебрично за този израз, ще го изчислим за х равно на 2 и за х равно на 1. След това интегрираме със заместване и получаваме следното. Като използваме горното полагане ще се опрости до интеграл от u на трета степен, du. u на трета степен, du. Отново напомням, че ще изчислим целия този израз за х равно на 2 и ще извадим от него същия израз, изчислен за х равно на 1. Това ще бъде равно на следното: u на трета, du е равно на u на четвърта върху 4. Ще го изчислим за х равно на 2 и след това от него ще извадим х равно на 1. Сега може отново да заместим това, което сме положили. Достатъчно е да вземем предвид, че u е равно на х квадрат плюс 1. Следователно това е същото нещо като х квадрат плюс 1 на четвърта степен, върху 4. Сега ще изчислим този израз за х равно на 2 и за х равно на 1. И ще видиш, че ще получиш абсолютно същия резултат. Когато заместим х равно на 2, получаваме 2 на квадрат плюс 1, което е равно на 5, на четвърта степен върху 4. Тоест това число ето тук. Следва минус 1 на квадрат плюс 1, което е 2 на четвърта степен върху 4, т.е. това число тук. И по двата начина се получава един и същи резултат. Може да го решиш като определен интеграл и след това да смениш границите на интегриране, като ги изразиш спрямо u. Това е един от начините. Другият начин е да изчислиш неопределения интеграл, като интегрираш със заместване като междинна стъпка, а след това да заместиш обратно положеното за u и да го изчислиш за дадените граници.