Интегриране чрез заместване: определен интеграл

В настоящия урок ще се упражняваме да интегрираме със заместване определени интеграли. Нека е даден следният интеграл. Границите са от х равно на 1 до х равно на 2. Интеграл от 2 по х, умножено по х квадрат плюс 1 на трета степен, dx. Вече споменах, че ще интегрираме със заместване, но е важно да можем да разпознаем кога това е възможно. Ключово нещо в дадения израз е, че имаме х квадрат плюс 1 на трета степен. A след това имам и производната на х квадрат плюс 1, която е равна на 2х, ето тук. Следователно мога да направя полагането (заместването). Нека запишем, че u е равно на х квадрат плюс 1. В такъв случай производната на u спрямо х е равна на 2 по х плюс 0, т.е. само на 2х. Можем да го запишем в диференциален вид. Приемаме, че може да умножим двете страни по dx. Получава се, че du е равно на 2х, dx. Ето тази част от интеграла мога да запиша ето така. Нека го запиша. Получава се следното. Записвам интеграл. След момент ще стане дума за границите. Имаме u на трета степен. Ще използвам същия оранжев цвят. u на трета степен. Това е този израз ето тук. След това имаме 2х, умножено по dx. Даденият израз е 2х, умножено по х квадрат плюс 1 на трета, dx. Ето тук имаме 2х, dx. 2х, умножено по dx, е равно на du. Тоест този и този член заедно са равни на du. Следва интересен въпрос. Имаме определен интеграл и поради това не търсим само примитивната функция. Имаме даден определен интеграл. Какво се случва с границите на интегриране? Има два начина, които може да използваш. Може да смениш границите на интегриране. Долната е х равно на 1, а горната е х равно на 2. Сега обаче интегрираме спрямо u. Един от начините да запазим границите или да изчислим интеграла като определен, така да се каже, е да смениш границите от u е равно на нещо до u равно на нещо друго. Нека да ги изчислим. Когато х е равно на 1, на какво е равно u? Когато х е равно на 1 имаме 1 на квадрат плюс 1, което означава, че u е равно на 2 в този случай. Когато х е равно на 2, на какво е равно u? Имаме 2 на квадрат, което е 4, плюс 1, което ни дава 5. Тогава u е равно на 5. Обикновено няма да срещнеш записано u равно на 2 и u равно на 5. Често ще бъде само от 2 до 5, защото интегрираме спрямо u. Предполагаме, че границите са от u равно на 2 до u равно на 5. Следователно можем да запишем, че това е равно на интеграл от 2 до 5, от u на трета, du. Наистина е важно обаче да разберем защо сменихме границите. Сега интегрираме спрямо u, защото направихме полагане ето тук. Когато х е равно на 1, u е равно на 2. Когато х е равно на 2 имаме 2 на квадрат плюс 1 и u е равно на 5. Сега може просто да изчислим получения интеграл. Ще бъде равно на следното. Антипроизводна от u на трета е равно на u на четвърта върху четири. Ще изчислим този израз за 5 и за 2. Получава се 5 на четвърта върху 4 минус 2 на четвърта върху 4. Ако искаме, можем да опростим този израз. Вече изчислихме определения интеграл. Друг начин да го решим е да се опитаме да решим неопределения интеграл спрямо х, и да интегрираме със заместване като междинна стъпка. Може да го разгледаме по следния начин. Нека опитаме да изчислим на какво е равно неопределен интеграл от 2 по х, умножено по х квадрат плюс 1 на трета степен, dx. Каквото и да получим алгебрично за този израз, ще го изчислим за х равно на 2 и за х равно на 1. След това интегрираме със заместване и получаваме следното. Като използваме горното полагане ще се опрости до интеграл от u на трета степен, du. u на трета степен, du. Отново напомням, че ще изчислим целия този израз за х равно на 2 и ще извадим от него същия израз, изчислен за х равно на 1. Това ще бъде равно на следното: u на трета, du е равно на u на четвърта върху 4. Ще го изчислим за х равно на 2 и след това от него ще извадим х равно на 1. Сега може отново да заместим това, което сме положили. Достатъчно е да вземем предвид, че u е равно на х квадрат плюс 1. Следователно това е същото нещо като х квадрат плюс 1 на четвърта степен, върху 4. Сега ще изчислим този израз за х равно на 2 и за х равно на 1. И ще видиш, че ще получиш абсолютно същия резултат. Когато заместим х равно на 2, получаваме 2 на квадрат плюс 1, което е равно на 5, на четвърта степен върху 4. Тоест това число ето тук. Следва минус 1 на квадрат плюс 1, което е 2 на четвърта степен върху 4, т.е. това число тук. И по двата начина се получава един и същи резултат. Може да го решиш като определен интеграл и след това да смениш границите на интегриране, като ги изразиш спрямо u. Това е един от начините. Другият начин е да изчислиш неопределения интеграл, като интегрираш със заместване като междинна стъпка, а след това да заместиш обратно положеното за u и да го изчислиш за дадените граници.