Интегриране чрез заместване: рационална функция

Искаме да изчислим неопределен интеграл от 4х^3 върху х^4 + 7, dx. Как да се справим с това? Изглежда като труден интеграл. Ключовото нещо тук е да се досетим, че имаме ето този израз х^4 + 7. но имаме и производната му в числителя. Производната на х^4 + 7 е равна на 4х^3. Производната на х^4 е 4х^3, а производната на 7 е равна на 0. Това е основният знак, че интегриране със заместване е подходящият метод тук. Записвам го ето тук. Интегриране със заместване е подходящо. Тогава на какво ще изберем да е равно u? Помисли върху това, защото останалата част се свежда просто до директно изчисляване на интеграла. u следва да е равно на израза, чиято производна е дадена. Полагаме (заместваме) u да е равно на х^4 + 7. Тогава du на какво ще бъде равно? Ще го запиша с лилаво. du е равно на производната на х^4 + 7 спрямо х. Тоест 4 х^3 + 0, умножено по dx. Записах го в диференциална форма ето тук, но е абсолютно еквивалентно ако запиша, че производната на u спрямо х, т.е. du/dx, е равна на 4х^3. 4 по х на трета степен. Когато видиш записано така du/dx, това е означение за производната на u спрямо х. Не е дробно число в официалния смисъл, но често може да се преобразува, точно като дробно число. Ако искаш да получиш от този израз ето този, може да приемеш, че умножаваш двете страни с dx. Това обаче са еквивалентни равенства, които искаме в диференциална форма, за да интегрираме със заместване. Причината това да е полезно е следната. Ще го запиша отделно, за да стане ясно. Нека запишем първоначалния интеграл като 4х^3, dx, върху х^4 + 7. Сега вече е очевидно кое е du и кoе e u. Положихме u да е равно на х^4 + 7, а du е равно на ето този израз. Тоест на 4x^3, dx. Виждаме го ето тук. Тогава записваме интеграла ето така. Ще използвам същите цветове. Неопределен интеграл от израза в лилаво ето тук, което е du, върху – записано със същия цвят – х^4 + 7, което е равно само на u. Може отново да преобразуваме целия този израз. Имаме интеграл от 1/u, по du. 1/u, du. На какво е равен неопределен интеграл от 1/u, du? Равен е на следното. Натурален логаритъм от модул (абсолютна стойност), за да е дефинирана и за отрицателни стойности на u. В друг урок ще покажа защо това е така. Натурален логаритъм от модул u. Прибавяме константа, която e възможно да е имало. Това всъщност е отговорът, изразен чрез u, така че сега следва да заместим положеното за u. Какво ще стане, когато заместим обратно израза за u? Ще се получи следното. Натурален логаритъм от модул от х^4 + 7 х^4 + 7. Нека не забравяме да прибавим и константата C тук. И сме готови!