If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 13: Интегриране чрез заместване

Интегриране чрез заместване: рационална функция

Още един пример на използване на интегриране чрез заместване. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Искаме да изчислим неопределен интеграл от 4х^3 върху х^4 + 7, dx. Как да се справим с това? Изглежда като труден интеграл. Ключовото нещо тук е да се досетим, че имаме ето този израз х^4 + 7. но имаме и производната му в числителя. Производната на х^4 + 7 е равна на 4х^3. Производната на х^4 е 4х^3, а производната на 7 е равна на 0. Това е основният знак, че интегриране със заместване е подходящият метод тук. Записвам го ето тук. Интегриране със заместване е подходящо. Тогава на какво ще изберем да е равно u? Помисли върху това, защото останалата част се свежда просто до директно изчисляване на интеграла. u следва да е равно на израза, чиято производна е дадена. Полагаме (заместваме) u да е равно на х^4 + 7. Тогава du на какво ще бъде равно? Ще го запиша с лилаво. du е равно на производната на х^4 + 7 спрямо х. Тоест 4 х^3 + 0, умножено по dx. Записах го в диференциална форма ето тук, но е абсолютно еквивалентно ако запиша, че производната на u спрямо х, т.е. du/dx, е равна на 4х^3. 4 по х на трета степен. Когато видиш записано така du/dx, това е означение за производната на u спрямо х. Не е дробно число в официалния смисъл, но често може да се преобразува, точно като дробно число. Ако искаш да получиш от този израз ето този, може да приемеш, че умножаваш двете страни с dx. Това обаче са еквивалентни равенства, които искаме в диференциална форма, за да интегрираме със заместване. Причината това да е полезно е следната. Ще го запиша отделно, за да стане ясно. Нека запишем първоначалния интеграл като 4х^3, dx, върху х^4 + 7. Сега вече е очевидно кое е du и кoе e u. Положихме u да е равно на х^4 + 7, а du е равно на ето този израз. Тоест на 4x^3, dx. Виждаме го ето тук. Тогава записваме интеграла ето така. Ще използвам същите цветове. Неопределен интеграл от израза в лилаво ето тук, което е du, върху – записано със същия цвят – х^4 + 7, което е равно само на u. Може отново да преобразуваме целия този израз. Имаме интеграл от 1/u, по du. 1/u, du. На какво е равен неопределен интеграл от 1/u, du? Равен е на следното. Натурален логаритъм от модул (абсолютна стойност), за да е дефинирана и за отрицателни стойности на u. В друг урок ще покажа защо това е така. Натурален логаритъм от модул u. Прибавяме константа, която e възможно да е имало. Това всъщност е отговорът, изразен чрез u, така че сега следва да заместим положеното за u. Какво ще стане, когато заместим обратно израза за u? Ще се получи следното. Натурален логаритъм от модул от х^4 + 7 х^4 + 7. Нека не забравяме да прибавим и константата C тук. И сме готови!