Интегриране чрез заместване: логаритмична функция

Изглежда имаме даден един труден неопределен интеграл от π върху х по натурален логаритъм от х, dx. Какъв подход може да използваме за решението? Възможно ли е да приложим интегриране със заместване? За да го направим, следва да открием някакъв израз и неговата производна. Какво ще получим, ако положим (заместим) u да е равно на натурален логаритъм от х? В такъв случай на какво ще бъде равно du? du ще бъде производната на натурален логаритъм от х спрямо х, което е просто 1/х, dx. Това е равносилно на твърдението, че du/dx е равно на 1/х. Откриваме ли някъде израза 1/x, dx в първоначалната функция? Да, но е малко прикрит. Не е толкова очевидно, но този х в знаменателя всъщност е 1/х. И след това е умножен по dx. Нека преобразувам първоначалния израз, за да стане малко по-ясно. Първо ще взема това π и ще го означа с различен цвят, който досега не съм използвал. Ще взема константата π и ще я изнеса пред интеграла. Ще изнеса π пред интеграла. Под интеграла остава следното. Нека първо да запиша 1/ln(x). 1/ln(x), умножено по 1/x, dx. Сега вече е малко по-ясно. Тези два израза са абсолютно еквивалентни. Тази стъпка показва, че можем да интегрираме със заместване. Ако изберем u да е равно на натурален логаритъм от х, то du ще бъде равно на 1/х, dx. 1/х, dx. du е равно на 1/х, dx. Нека да заместим u в този интеграл. Получава се π, умножено по неопределен интеграл от 1/u. Натурален логаритъм от х е равно на u, защото така го избрахме. След това умножаваме по du. Умножаваме по du. Сега е лесно да изчислим получения интеграл. На какво е равна примитивната функция на целия този израз? Вече сме решавали подобни интеграли много пъти преди този. Ще бъде равно на π, умножено по натурален логаритъм от модул (абсолютна стойност) от u, за да е дефинирано дори за отрицателни стойности на u. Натурален логаритъм от модул от u плюс C, в случай, че имаме някаква константа тук. Почти сме готови. Остава само да заместим обратно положения израз за u. u е равно на натурален логаритъм от х. Накрая се получава следния приятен на вид израз. Примитивната функция на първоначалния неопределен интеграл, който решихме, се получава, че е равна на π, умножено по натурален логаритъм от модул от u. u обаче е равно на натурален логаритъм от х. Натурален логаритъм от х. И прибавяме константата C ето тук. Още в началото можехме да предположим, че даденият израз е дефиниран само за положителни стойности на х, защото имаме натурален логаритъм, но не от модул х. Може да оставим така получения израз. Възможно е да имаме случаи – поради това, че имаме модул – когато натурален логаритъм от х е с отрицателна стойност. Например, ако търсим натурален логаритъм от 0,5. Или друга някаква стойност. Ето сега вече сме готови. Опростихме израз, който изглеждаше труден.