If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Раздел: Числови редове

0

Възможни точки за майсторство

Сходящ и разходящ безкраен ред

Учи
Сходящи и разходящи редици
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: разходимост/сходимост на редици
(Отваря се модален прозорец)
Въведение към частични суми
(Отваря се модален прозорец)
Частични суми: формула за n-тия член от частична сума
(Отваря се модален прозорец)
Частични суми: стойност на член от частична сума
(Отваря се модален прозорец)
Безкрайни редове като граница на частични суми
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Разходимост/сходимост на редициОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Въведение към частични сумиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Частични суми и редовеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Безкрайни геометрични редове

Учи
Решен пример: сходящ геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: разходящ геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Текстова задача за безкраен геометричен ред: подскачаща топка
(Отваря се модален прозорец)
Текстова задача за безкраен геометричен ред: безкрайна периодична дроб
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство на формулата за безкраен геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Сходящ и разходящ геометричен ред (с преобразуване)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Безкрайни геометрични редовеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 1

Повиши нивото си за тези умения и събери до 400 точки за майсторство

Необходимо условие за сходимост на числов ред

Учи
Необходимо условие за сходимост на числов ред
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Необходимо условие за сходимост на числов редОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегрален критерий за сходимост/ интегрален критерий на Коши

Учи
Интегрален критерий за сходимост/ интегрален критерий на Коши
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: Интегрален критерий за сходимост
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегрален критерий за сходимост/ интегрален критерий на КошиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Хармоничен ред и обобщен хармоничен ред

Учи
Хармоничен ред и обобщен хармоничен ред
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: обобщен хармоничен ред
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство на критериите за сходимост за обобщен хармоничен ред
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Обобщен хармоничен ред / хармоничен ред от вида ∑(1/n^p) Отговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Критерии за сходимост

Учи
Критерий за сходимост чрез сравнение
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: критерий за сравнение
(Отваря се модален прозорец)
Гранична форма на критерия за сравнение
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: Гранична форма на критерия за сравнение (за сходимост)
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство: разходящ хармоничен ред
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Критерий за сходимост чрез сравнениеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Гранична форма на критерия за сравнениеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Критерий на Лайбниц за алтернативни редове

Учи
Критерий на Лайбниц за алтернативни редове
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: алтернативен ред
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Критерий на Лайбниц за алтернативни редовеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Критерий на Даламбер

Учи
Критерий на Даламбер
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Критерий на ДаламберОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Абсолютна и условна сходимост

Учи
Условна и абсолютна сходимост
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Определи абсолютна или условна сходимостОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 2

Повиши нивото си за тези умения и събери до 800 точки за майсторство

Граница на грешката за алтернативни редове

Учи
Остатък на алтернативни редове
(Отваря се модален прозорец)

Запознаване с полиноми на Тейлър и Маклорен

Учи
Въведение в полиномите на Тейлър и Маклорен (част 1)
(Отваря се модален прозорец)
Въведение в полиномите на Тейлър и Маклорен (част 2)
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: полином на Маклорен
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: коефициент в полином на Маклорен
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: коефициент в полином на Тейлър
(Отваря се модален прозорец)
Изобразяване на приближения на реда на Тейлър
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Полиноми на Тейлър и МаклоренОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Граница на грешката по Лагранж

Учи
Остатък при полином на Тейлър (част 1)
(Отваря се модален прозорец)
Остатък при полином на Тейлър (част 2)
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: изчисляване на sin(0,4) с определяне границата на грешката по Лагранж
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: изчисляване на eˣ, използвайки граница на грешката по Лагранж
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Граница на грешката по ЛагранжОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Запознаване със степенни редове

Учи
Запознаване със степенни редове
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: интервал на сходимост
(Отваря се модален прозорец)

Функция като сума на геометричен ред

Учи
Функция като сума на геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Геометричен ред като функция
(Отваря се модален прозорец)
Степенен ред на arctan(2x)
(Отваря се модален прозорец)
Степенен ред на ln(1+x³)
(Отваря се модален прозорец)
Интервал на сходимост на геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Функция като сума на геометричен редОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Числов ред на Маклорен от eˣ, sin(x) и cos(x)

Учи
Ред на Маклорен на cos(x)
(Отваря се модален прозорец)
Ред на Маклорен за sin(x)
(Отваря се модален прозорец)
Ред на Маклорен за eˣ
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: степенен ред за cos(x)
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: функцията косинус от степенен ред
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: разпознаване на функция от ред на Тейлър
(Отваря се модален прозорец)
Изобразяване на апроксимации на реда на Тейлър
(Отваря се модален прозорец)
Формула на Ойлер и тъждество на Ойлер
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Редове на Маклорен за sin(x), cos(x) и eˣОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Представяне на функции като степенни редове

Учи
Интегриране на степенен ред
(Отваря се модален прозорец)
Диференциране на степенен ред
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на функция от степенен ред чрез интегриране
(Отваря се модален прозорец)
Интервал на сходимост за производна и интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Преобразуване на явни членове на ред в запис с използване на знака за сума
(Отваря се модален прозорец)
Преобразуване на явни членове на ред в запис с използване на знака за сума (n ≥ 2)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране и диференциране на степенен редОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интеграли и производни на функции с познати степенни редовеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 3

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Телескопични редове (с ограничен брой членове на сумата)

Учи
Телескопични редове (с ограничен брой членове на сумата)
(Отваря се модален прозорец)
Разходящ телескопичен ред
(Отваря се модален прозорец)

Видеа с доказателства

Учи
Формална дефиниция за граница на числова редица
(Отваря се модален прозорец)
Доказване на сходимостта на една числова редица, използвайки формалната дефиниция
(Отваря се модален прозорец)
Формула за сумата на краен геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Тълкуване на формулата за сбор на първите n-члена на безкраен геометричен ред
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство за представянето на безкраен геометричен ред като граница
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство на критериите за сходимост за обобщен хармоничен ред
(Отваря се модален прозорец)
Какво те очаква:

Тест за раздела

Повиши нивото си за всички умения в раздела и събери до 1800 точки за майсторство!

За този урок

Редовете са суми от множество членове. Безкрайните редове са суми от безкраен брой членове. А дали всички безкрайни редове клонят към безкрайност? Оказва се, че отговорът е не. Някои безкрайни редове клонят към крайна стойност. Научи как е възможно това и как може да разберем дали даден ред e сходящ и към каква стойност. Ще научим също и за редовете на Тейлър и Маклорен, които се държат като функции и се схождат към познати функции като sin(x) или eˣ.