Условна и абсолютна сходимост

Във видеото, посветено на критерия на Лайбниц за алтернативни редове разгледахме реда –1 на степен (n + 1) върху n за n от 1 до безкрайност Използвахме това като пример, за да приложим критерия на Лайбниц и доказахме, че това тук е сходящо. За този ред, който представлява 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 и така нататък до безкрайност, използвахме критерия на Лайбниц, за да докажем, че е сходящ. Този ред е сходящ. Този ред е сходящ съгласно критерия на Лайбниц за алтернативни редове. Критерий за алтернативни редове. Ако искаш да го преговориш, гледай видеото за критерия на Лайбниц. Сега да помислим какво се случва, ако вземем абсолютната стойност на всеки от тези членове и ги сумираме, ако вземем сумата от абсолютната стойност на ((–1)^(n + 1))/n за n от 1 до безкрайност, на колко ще е равно това? Този числител ще бъде или 1, или –1, а абсолютната стойност винаги ще бъде 1, така че ще е върху това. n е винаги положително, то е от 1 до безкрайност. Значи това ще е равно на сумата от 1/n за n от 1 до безкрайност. Това е просто известния хармоничен ред. Имаме видео, в което... гледай го в Кан Академия, ако не ми вярваш, за прочутото доказателство, че хармоничният ред е разходящ. Хармоничният ред е 1 + 1/2 + 1/3, това ето тук, ето този ред е разходящ. Когато видиш, че един ред е сходящ, но ако вземеш абсолютната стойност на всеки от членовете му, и тогава той е разходящ, казваме, че този ред е условно сходящ. Казваме, че той е сходящ, но казваме, че той е условно сходящ. Условието е, предполагам, че можеш да кажеш така, че не взимаме абсолютната стойност на членовете. Ако един ред е сходящ, и когато вземем и абсолютните стойности на членовете му, тогава казваме, че този ред е абсолютно сходящ. Да видим един пример за това. Ако имаме... Да вземем една геометрична прогресия, това ще е забавно. Всъщност използвам тези цветове прекалено, ще взема друг цвят. Да кажем, че имаме сумата от (–1/2)^(n + 1) за n от 1 до безкрайност. Знаем, че ако за тази геометрична прогресия абсолютната стойност на частното е по-малка от 1, тогава тя е сходяща. Взимаме абсолютната стойност на всеки от тези членове, и ако ги сумирам... ще използвам различен цвят, само да смесим малко нещата. Ако вземем абсолютната стойност на всеки от тези членове, абсолютната стойност на –1/2, на степен (n + 1), това ще е същото като сумата от 1/2 на степен (n + 1) за n от 1 до безкрайност. Отново, частното, абсолютната стойност на частното е по-малко от 1, а ние разгледахме това при геометричните прогресии. Това също е сходящо. Когато вземем абсолютната стойност на членовете, то също е сходящо. За този ред можем да кажем, че е абсолютно сходящ. Вече доста говорихме за сходимост и разходимост. В това видео искам да видим различните видове сходимост. Може да има сходимост, но може да е интересно да се определи дали има сходимост и когато разгледаме абсолютните стойности на членовете. Ако имаме сходящ ред, но нямаме сходимост за абсолютните стойности на членовете на реда, тогава казваме, че редът е условно сходящ. За един сходящ ред, за който имаме сходимост и при абсолютните стойности на членовете му, тогава казваме, че този ред е абсолютно сходящ. Защото дори когато вземем абсолютните стойности на членовете му, той е сходящ. Надявам се, че това ти беше интересно.