If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: алтернативен ред

Пример, в който се използва критерий на Лайбниц за алтернативни редове за определяне на стойностите на една променлива, които ще направят числовия ред сходящ.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Кои са всички положителни стойности на р, за които този безкраен ред е сходящ? Да видим. Имаме сумата от минус едно на степен (n + 1), по р върху 6 на степен n за n от 1 до безкрайност. Вероятно ти хрумват няколко неща. Това (–1) на степен (n + 1), когато n се променя от 1 на 2, на 3, това е просто редуване на +1, –1, + 1, –1. Имаме редуващи се знаци. Това може да е малка подсказка какво се случва, и всъщност нека просто го напишем. Това ще бъде, да видим, когато n = 1, тук ще бъде на втора степен, значи ще бъде +1. Това р/6, когато n = 2, това ще бъде на трета степен, значи става –р/6 на квадрат. После плюс р/6 на трета степен. Можех да напиша тук и първа степен. После –р/6 на четвърта степен, и ще продължим така да редуваме плюс и минус до безкрайност. Това е класическа схема на алтернативен ред, и тук можем да използваме критерия на Лайбниц. Критерият на Лайбниц ни казва, че ако тази част на израза, частта, която не е свързана с редуващите се знаци, ако мога да кажа така, ако тази част тук от израза намалява монотонно, ако намалява монотонно, което е просто засукан начин да кажем, че всеки следващ член е по-малък от члена преди него, и също ако знаем, че границата на това, когато n клони към безкрайност, тази граница трябва да е нула. Значи границата на (p/6)^n, когато n клони към безкрайност, трябва също да е нула. Кога това ще бъде вярно? За да е изпълнено кое да е от тези условия, р/6 трябва да е по-малко от 1. Ако р/6 е равно на 1, например, ако р = 6, тогава това няма да намалява равномерно. Всеки член ще бъде просто 1. Ще бъде 1 на първа степен, едно на квадрат и така нататък. Когато р е по-голямо от 6, тогава всеки път, когато умножаваме по р/6, ще получаваме все по-голямо число, и границата определено няма да е нула. Можем да кажем, че р/6 трябва да по-малко от 1, затова умножаваме двете страни по 6, и получаваме, че р трябва да е по-малко от 6. Питат ни кои са всички положителни стойности на р. Следователно р трябва да е по-голямо от нула. р е по-голямо от нула и по-малко от шест, което е ето този отговор. Повтарям, няма да кажем, че е по-малко или равно на 6, защото ако р е равно на шест, този клен ще стане едно на степен n, и тогава това тук ще бъде просто 1. Ще бъде 1 минус 1 плюс 1, до безкрайност. Така че определено е първият вариант.