If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: Гранична форма на критерия за сравнение (за сходимост)

За да използваме граничната форма на критерия за сравнение за числов ред S₁, трябва да намерим друг ред S₂, който има подобна структура (така че безкрайната граница на of S₁/S₂ да е крайна) и чиято сходимост вече е определена. Виж решен пример как се използва граничният критерий в това видео.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Даден ни е този ред и ни питат коя от долните редове можем да използваме граничната форма на критерия за сравнение – ще подчертая това: критерий за сравнение на границите – за да се определи дали редът S e сходящ? Нека само да си припомним критерия за сравнение. Ако имаме два безкрайни реда, ще ги запиша ето така, a_n, и друг ред b_n. Ако знаем, че членовете на a_n и b_n са по-големи или равни на нула за всяко n, ако знаем това, после, ако за n, клонящо към безкрайност, a_n върху b_n е равно на някаква положителна константа. Значи това число е по-голямо от 0 и по-малко от безкрайност, тогава и двата реда са сходящи, или и двата са разходящи. Това е наистина много логично, защото ни казва, че когато n стане много голямо, когато отидем до много големи членове на реда, ако поведението на членовете на двата реда е еднакво, тогава логично е двата реда да са или сходящи, или разходящи. Ние имахме въвеждащо видео по този въпрос. Да помислим, ако кажем, че това е нашето a_n, ако приемем, че това тук е a_n, с кой ред можем да направим сравнение? Изглежда, че този има сходно поведение за големи стойности на n. Този изглежда, че няма граница. Този не изглежда толкова подобен. Има (3^n – 1) в знаменателя, но числителят не е същият. Този тук е много интересен, защото можем да напишем това като, това е равно на сумата за n от 1 до безкрайност... можем да представим това като 2^n върху 3^n, и това вече е много подобно. Единствената разлика между това и това е, че тук в знаменателя имаме –1, а тук долу нямаме това –1, което е логично, тъй като това е просто една константа, когато n стане много голямо, тези ще имат еднакво поведение. Да пробваме това. Да намерим границата... като знаем, че a_n и b_n... ако приемем, че това тук е b_n, казваме, че b_n ще бъде положително, или че това ще бъде по-голямо или равно на нула за n равно на 1, 2, 3, за всяка стойност това ще бъде по-голямо или равно на нула, и същото важи и за тук. Това ще е по-голямо или равно на нула за всички n, които ни интересуват. Значи първите изисквания са изпълнени и затова да намерим границата на a_n, когато n клони към безкрайност което е – ще го напиша с червено, което е 2^n върху (3^n – 1), върху b_n, върху 2^n върху 3^n. Сега ще направим малко алгебрични преобразувания. Това ще бъде равно на 2^n върху (3^n – 1), по 3^n върху 2^n. Разделяме числителя и знаменателя на 2^n, тези се съкращават, и така получаваме 3^n върху (3^n –1). Можем да разделим числителя и знаменателя на 3^n и получаваме 1 върху (1– 1/3^n). Сега можем да кажем, че това е равно на границата от 1 върху (1– 1/3^n) за n, клонящо към безкрайност. На колко ще е равно това? Когато това клони към безкрайност, това тук, 1/3^n е равно на нула. Значи всичко това ще клони към 1. А 1 определено е между 0 и безкрайност, така че съдбините на тези два реда са свързани. И двете са или сходящи, или разходящи. Значи това е подходящо за използване на граничната форма на критерия за сравнение, и нека да го разгледаме. Дали и двата реда са сходящи или и двата са разходящи? Това е геометрична прогресия, частното тук е по-малко от 1, значи това е сходящ ред. И понеже това е сходящо, съгласно граничната форма на критерия за сравнение началният ред S е сходящ. Сходящ, и ние сме готови.