Геометричен ред като функция

Дадена ни е тази функция, дефинирана като безкраен ред. В това видео ще се опитаме да установим дали можем да я изразим в по-традиционен вид. Това, което може би ти хрумва, е, че това е геометричен ред, знаем как да намерим сумата на безкрайна геометрична прогресия, поне за стойностите на х, за които тя реално е сходяща. Първо да проверим дали това е геометрична прогресия. Основният признак за геометрична прогресия е, че когато отиваме от един член към следващия след него, умножаваме по частното. Да видим. За да отидем от 2 до –8х^2, по колко трябва да умножим? Трябва да умножим по –4х^2. Значи умножаваме по –4х^2. След това по същото ли умножаваме, за да получим 32х^4? Да, определено. –4х^2 по –8х^2 дава +32х^4. Отново умножаваме по –4х^2, и получаваме –128х^6. Частното отново е –4х^2, първият член е 2, така че можем да преработим това. Можем да представим f(х) да е равно на сумата за n от 0 до безкрайност... да видим, първият член е 2, 2 по (–4х^2)^n. Това е сума на геометрична прогресия, за която частното е равно на –4х^2 на степен n. Кога това ще бъде сходящо? Знаем, че една безкрайна геометрична прогресия е сходяща, когато абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. Ще го запиша. Сходяща е, когато абсолютната стойност на частното, на –4х^2 е по-малка от 1. Това, по начина, по който го записах сега, това ще бъде отрицателна стойност. Абсолютната стойност на това ще бъде просто 4х^2 Нали? х на квадрат е неотрицателно, така че 4х^2 е също неотрицателно. –4х^2 е неположително. Ако вземем абсолютната стойност на нещо неположително, то е равно на абсолютната стойност на същото със знак минус. Значи това ще бъде по-малко от 1. Абсолютната стойност на нещо, което е стриктно неотрицателно като това, това ще бъде 4х^2... тези две твърдения са еквивалентни, и това трябва да е по-малко от 1. Можем да разделим двете страни на 4, получаваме х^2 е по-малко от 1/4. Така можем да кажем, че абсолютната стойност на х трябва да е по-малко от 1/4, или можем да кажем, че –1/4 трябва да е по-малко от х, което трябва да е по-малко от +1/4. (Сал допуска грешка, по-малко е от корен квадратен от 1/4, т.е. от 1/2). Изразено по този начин, получаваме интервал на сходимост. Това нещо е сходящо, когато х принадлежи на този интервал. Изразено по този начин, всъщност ние даваме радиуса на сходимост. Ще бъде сходящо, когато х е по-малко от радиуса на сходимост, когато абсолютната стойност на х е по-малка от радиуса на сходимост, когато х е отдалечено от нула с по-малко от 1/4. За да стане малко по-ясно, можеш да го преработиш като разстоянието между х и 0, когато... можеш да го разглеждаш като отдалечеността на х от нула... когато тя е по-малко от 1/4, това е сходящо. Значи това е интервалът на сходимост, а това 1/4 можеш да разглеждаш като радиус на сходимост. Като определихме това, определихме къде това нещо е сходящо, сега да определим стойността, към която е сходящо. Правили сме го няколко пъти. Това нещо е равно на първия член, 2, върху 1 минус частното. Частното ни е –4х^2. Това ще ни даде... тук заслужаваме аплодисменти – 2 върху 1 + 4х^2. Този израз ще е равен на този, когато х принадлежи на интервала на сходимост.