Ред на Маклорен на cos(x)

В предишното видео се надявам, че показахме логиката защо, или може би трябва да кажа какво представляват редовете на Маклорен, и накрая казахме, че те са просто частен случай на редовете на Тейлър, като с ред на Маклорен апроксимираме функцията около х = 0, а с ред на Тейлър, ще го видим в бъдеще, можем да изберем произволна стойност на х, или стойност на f(х), около която да апроксимираме функцията. След като казахме това, сега да се върнем на ред на Маклорен, който е донякъде по-прост, и това ще ни доведе до до някои много важни математически изводи, което всъщност е целта ми. Да вземем ред на Маклорен за някоя интересна функция, като ще избера функция, чиито производни се намират лесно, и ще продължим да намираме производни отново и отново. Да вземем ред на Маклорен за функцията косинус от х, значи, ако f(x)=cos(x), тогава... преди да приложа формулата, която изведохме в предното видео, или поне видяхме логиката в предходното видео, нека да намерим няколко производни на f(x), за да имаме представа. Ако намерим първата производна, производната на cos(x) е – sin(х). Ако намерим производната на това, производната на sin(х) е cos(x), но тук имаме знак минус, значи –cos(х). Производната на това, това е третата производна на cos(х), това е +sin(х), а ако намерим производната на това, отново получаваме cos(х). Ако намерим производната на това, това е четвърта производна, трябва да използвам този начин на записване, но разбираш идеята – и отново получаваме производната на cos(х). Ако погледнеш какво казахме в предишното видео, търсим закономерност – търсим функцията и различните ѝ производни, пресметнати за 0, така че хайде да ги изчислим за х = 0, f(0) = cos(0) = 1; косинус от нула е едно. Дали са нула радиани или нула градуса не е важно. Синус от нула е нула, така че f'(0) = 0. После косинус от нула, отново е 1, но сега имаме знак минус, така че става минус 1. Втората производна, изчислена за нула, е –1. Третата производна, изчислена за нула, синус от нула е нула, а после четвъртата производна, сметната за нула, косинус от нула е 1. Значи f''''(0) сега е равно на 1. Тук виждаш интересна закономерност: 1, 0, –1, 0, 1, после пак 0, после пак минус едно, пак нула. Ако използваме това, за да го представим като ред на Маклорен, какво ще получим? Ще се постарая да го направя максимално добре. Значи ще получим, полиномът ще бъде... апроксимацията като полином на cos(х) ще бъде f(0), f(0) е 1, после имаме 1 + f'(0) по х. Но f'(0) е нула, така че този член няма да го има, това е 0 по х, и дори да го запишем, той ще бъде 0 по х. после плюс f''(0), втората производна, която е –1. затова пиша минус, това тук е –1. –1 по х^2 върху 2! 2 факториел е просто 2. Но ще го запиша, за да се вижда по-добре закономерността. Следващият член е третата производна, изчислена за нула, но тя е просто нула, значи този член също отпада. После четвъртата производна, изчислена за нула, тя е +1, значи този коефициент тук ще бъде 1, и получаваме 1 по х^4 върху 4!, значи плюс 1 по х^4 върху 4!, и мисля, че вече забелязваш закономерност. Знаците се сменят, и ако продължим, ще го видиш, можеш да провериш, ако не ми вярваш, значи се редуват знак плюс и знак минус, знак плюс и знак минус, и така до безкрай, и това тук в началото, е 1 по х на нулева степен, после прескачаме две до x^2, прескачаме две до x^4, ако продължим така, ще имаме знак плюс, знак минус, това ще бъде х^6 върху 6!, после знак плюс, x^8 върху 8!, после знак минус, х^10 върху 10!, и продължаваме по същия начин. Ако продължим по този начин с този ред, това ще бъде представяне като полином на функцията cos(х). И е страхотно, че можем да я представим по този начин. Това е много проста закономерност за една тригонометрична функция. Повтарям, това един вид ни казва, че всичко е свързано математически. Ще видим в следващите 2 или 3 клипа, че те са свързани по много по-основен начин, отколкото можем да си представим.