Формула на Ойлер и тъждество на Ойлер

В последното видео разгледахме развиване като ред на Маклорен на функцията е^х и видяхме, че тя много прилича на някаква комбинация от полиномите, с които апроксимираме функциите cos(х) и sin(х). Но не напълно, защото има няколко минуси тук. Ако съберем тези двете, тогава няма да получим апроксимацията на е^х. За да съгласуваме тези, трябва да направим един малък трик, ако можем да го наречем така. Да видим, ако вземем развиването като полином на e^х, тази апроксимация, ако кажем, че е^х е равно на това, особено когато имаме безкраен брой членове, и това вече не е толкова апроксимация, а по-скоро е равенство. Какво ще стане, ако взема е на степен iх, което е доста странно нещо. Ще го запиша, е^(ix). Преди казах как дефинираме е на степен i. Това е много странно нещо, да повдигнем нещо на степен ix. Как изобщо да разбираме нещо подобно на тази функция. Но сега, когато можем да го развием като полином от е^х, можем да видим някакъв смисъл. Можем да получаваме различни стойности за различни степени на „i“ и знаем какво ще се получи: i на квадрат е –1, i на трета степен е равно на –1, и така нататък. Какво става, ако повдигнем е на степен ix? Пак да повторя, просто взимаме това х тук и го заместваме с ix, така че навсякъде, където имаме х в това приближение, развито като полином, сега ще запишем ix. Да го направим. Значи е^(ix) ще е приблизително равно на, то ще се приближава все повече и повече, и това ще ти покаже само логиката, защото аз не правя стриктно доказателство, но това е вярно. Да не прекалявам с хвалбите, макар че мисля ,че не мога да похваля прекалено това, което ще докажем или видим в това видео, това ще е равно на 1 + и вместо х ще имаме ix, плюс ix, плюс, колко е (ix)^2? Ще го запиша тук. Колко е (ix)^2 върху 2 факториел? i на квадрат е –1, после имаме х на квадрат върху 2 факториел. Това става –х^2 върху 2! вероятно започваш да разбираш какво става тук. После колко е ix... Спомни си, че навсякъде, където има х, ние го заместваме с ix. Колко е ix на трета степен? Ще го напиша, няма да прескачам стъпки. Това е (ix)^2 върху 2! всъщност ще го направя ето така. Значи плюс (ix)^2 върху 2! плюс (ix)^3 върху 3! плюс (ix)^4 върху 4! и можем да продължим така, плюс (ix)^5 върху 5! и можем да продължим така до безкрай. Да сметнем тези ix, повдигнати на различни степени. Това е равно на 1 + ix, (ix)^2, което е същото като i^2 по х^2, i^2 е равно на –1. Значи това е –х^2 върху 2! и това ще е равно на i^3 по х^3. i^3 е равно на i^2 по i, значи е равно на –i. Значи това е равно на –ix^3 върху 3! После плюс, тук ще имаме... колко е i на четвърта степен? Това е i на квадрат на квадрат. Значи това е –1 на квадрат, което е просто 1. Значи i на четвърта е 1 и после имаме х^4. Плюс х^4 върху 4! И след това ще имаме, даже още не съм написал плюс, плюс i^5. i^5 е равно на 1 по i, значи става i по х^5 върху 5! плюс i по х^5 върху 5!. Вероятно забелязваш закономерността. Коефициентът е 1, после i, после –1, после 1, после i, после –1, после х^6 върху 6! и после –i по х на седма степен върху 7! Значи някои от членовете са имагинерни числа, умножени са по i, а някои членове са реални числа. Защо да не ги разделим? Отново, е на степен iх ще бъде равно на това, особено като добавим безкраен брой членове. Сега да разделим членовете, които са реални числа, от тези, които не са. Или по-точно реалните и имагинерните членове. Този е реален, този е реален, този е реален и този тук е реален. Определено можем да продължим така. Значи реалните членове са 1 – х^2/2! + х^4/4! може би вече се развълнува, –х^6/6! и тук съм стигнал дотук, но те продължават до безкрайност. Това са реалните членове. Да видим кои са имагинерните членове. Просто ще изнеса пред скоби i. Това ще стане + i по... това е ix, значи ще остане х. След това следващия имагинерен член, това също е имагинерен член. Изнасяме пред скоби i, значи –х^3 върху 3! После следващия имагинерен член е този. Като изнесем i, остава х^5 върху 5! и после следващия имагинерен член е този тук, изнасяме пред скоби i. Става –х^7/7! И очевидно продължаваме така. Продължаваме плюс, минус, още и още, до безкрайност, така че да можем да получим максимално добро приближение. Имаме случай, в който e^(ix) е равно на всичко това тук. Но може би си спомняш от последните два видео урока, че реалната част, този полином тук, това е приближение с ред на Маклорен на косинус от х, или можем да кажем апроксимация с ред на Тейлър около нула, или можем да го наричаме също апроксимация на Маклорен. Значи това и това са едно и също. Това е косинус от х, особено когато добавим безкраен брой членове, на косинус от х. Това ето тук е синус от х, абсолютно същия случай. Изглежда, че можем да съгласуваме как да съберем косинус от х и синус от х, за да получим нещо като e(х). Това тук е синус от х. Приемаме го за дадено, няма да го доказвам тук, и ако вземем безкраен брой членове и това по принцип е равно на косинус от х, и ако вземем безкраен брой членове тук, това става синус от х. Така получаваме една удивителна формула. Можем да кажем, че е^(ix) е равно на косинус от х, като тук сигурно ти настръхва кожата! Това е равно на cos(х) + i.sin(х). Това е формулата на Ойлер. Това тук е формулата на Ойлер. Надявам се, че оценяваш колко е изумителна, защото тя наистина е. Дотук направихме някои наистина страхотни неща. Включихме е, което идва от непрекъсната сложна връзка (влияние). Имаме косинус и синус от х, които са отношения в правоъгълен триъгълник, свързан с единичната окръжност. И някак вътре включихме и квадратен корен от –1. Това изглежда като много яка зависимост. Но става още по-яко, и ще предположим, че работим с радиани. Ако приемем, че е вярна формулата на Ойлер, какво се случва, когато х е равно на π? Просто заместваме с още едно удивително число. Отношението между обиколката на окръжността и диаметъра на окръжността. Какво става, когато заместим с π? Става e^(iπ) е равно на cos(π). Колко е косинус от π? π е половин оборот около единичната окръжност, така че косинус от π е –1, а синус от π е нула, така че този член изчезва. Ако го изчислим за π, получаваме нещо удивително, което се нарича тъждество на Ойлер. Винаги се затруднявам да произнеса Ойлер. Тъждество на Ойлер, което можем да запишем ето така, или можем да добавим 1 към двете страни и да го запишем ето така. Ще го запиша в различни цветове, за да акцентирам по-добре. е^(iπ) + 1 е равно на... ще използвам неутрален цвят, е равно на... ще добавя 1 към двете страни на това, което е равно на нула. Това предизвиква размисъл. Искам да кажа, че това ни казва, че има някаква свързаност във вселената, която ние не разбираме напълно, или поне аз не я разбирам напълно. i е дефинирано от учените за простота, така че да намират корени от всякакви полиноми. Можеш да го разглеждаш като квадратен корен от –1. π е отношението между обиколката на окръжността и нейният диаметър. Още едно интересно число, което изглежда идва от различно място от i. е идва от съвсем различно място. Можеш да приемеш, че е идва от непрекъснато сложно взаимодействие, което е много ценно във финансите. То следва също така от идеята, че производната на е^х е също е^х, друго изумително число. Но това изглежда, че не е свързано с начина, по който изведохме i и изглежда, че няма връзка как изведохме π. Но тук имаме най-основните числа на едно място. Имаме единица и няма да обяснявам защо 1 е яко число. Не е нужно да обяснявам защо нула е яко число. И това тук свързва всички тези фундаментални числа по един мистичен начин, който ни показва, че има някаква свързаност във Вселената. Честно, ако това не те изумява, ти просто не можеш да изпитваш удивление.