If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: разпознаване на функция от ред на Тейлър

Примерен въпрос от математически анализ за напреднали, в който се иска да разпознаем функция по нейния ред на Тейлър.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Даден ни е този израз, който представлява ред на Тейлър около нула, и се пита на коя от следните функции е приближение той, като са ни дадени няколко варианта за избор. Първо да поразсъждаваме за този ред, който ни е даден. Ако трябва да го развием, да видим, за n = 0, това става –1 на степен нула, което е 1 по х на нулева стапен, което е 1, върху 0!, което е 1, значи става 1 плюс... после, когато n е равно на 1, това ще бъде отрицателно, значи става минус и после х на първа степен, върху 1! Мога да го напиша просто като х. После за n = 2 става –1 на квадрат, това е + х на квадрат върху 2! Тук ще бъде минус х^3 върху 3!. После ще бъде плюс и мога да продължа до безкрай. Вече сме виждали това. х^4 върху 4! и продължаваме с минус, плюс. Знаците продължават да се редуват до безкрай. Общият член за ред на Тейлър около нула, които също наричаме ред на Маклорен, общият вид ще бъде f(0) плюс f'(0) по х, плюс f''(0) по x^2 върху 2! плюс третата производна за нула по х на трета степен върху 3 факториел, плюс четвъртата производна – схващаш идеята, изчислена за 0, по х^4 върху 4! и продължаваме така до безкрайност. Сега, за да намерим коя функция... Това, което написах в синьо е ред на Маклорен или ред на Тейлър около нула. За да бъде ред на Маклорен, това означава, че f(0) трябва да е равно на 1. Това означава, че f'(0)... всъщност нека да го напиша. Това означава, че f(0) трябва да е равно на 1. f(0) е равно на едно. Това означава, че f'(0) трябва да бъде коефициентът на х ето тук, който е –1, и можем да продължим. Това означава, че втората производна за нула... това ще бъде коефициентът на това x^2 върху 2, значи ще е равно на 1. Виждаш закономерността – третата производна за нула е равна на –1. Това е коефициентът на х^3 върху 3!, което е това –1 ето тук. Като използваме тази информация, можем ли да разберем кой от тези варианти е. Можем да разсъждаваме дедуктивно. Да сметнем всяка от тези функции за нула, и да видим коя от тях е едно. Първо синус от х. Това е нула. Просто като погледнем това първо условие тук, синус от нула не е 1. Можем да го изключим. Косинус от 0 е едно, така че това остава в играта. е на степен 0 е равно на 1. После натурален логаритъм от 1 + 0, това е натурален логаритъм от 1, което е нула, значи това отпада от състезанието. Значи само от първото условие, че f(0) е равно на 1, елиминирахме два от потенциалните отговори. После, като знаем, че първата производна, изчислена за нула е равна на –1... Колко е първата производна на косинус от х? Това е минус синус от х. Ако го изчислим за нула, получаваме –1. Получаваме 0, така че това отпада. Първата производна на е^х е равна на e^x. Ако я изчислим за нула, ще получим 1, а не минус 1, така че това също отпада. И без да гледаме нищо друго можем да сме сигурни, че D е верният отговор, но все пак нека проверим. Първата производна тук, f'(х) е равна на –е^(–х) Значи f' от нула ще бъде –е на нулева степен, или –1, което съответства на това, и ако ти е любопитно, можеш да продължиш и да видиш дали отговаря на другите условия. Но отговор D е единственият, който отговаря даже само на първите две условия за функцията за нула и за първата производна за нула.