Решен пример: обобщен хармоничен ред

Даден ни е този безкраен ред, 1 + 1/2^5 + 1/3^5 + ... и така до безкрай. Можем да представим реда като сума за n от 1 до безкрайност от 1 върху n на пета степен. Сигурно ти прави впечатление, че когато n е равно на 1, това е равно на 1/1^5, това е тази единица тук, и така продължаваме. Вероятно ти прави впечатление, че този ред е от категорията редове, за които общият член е от вида 1/n^р за n от 1 до безкрайност, където р е положително число. В този конкретен случай р за този ред е равно на 5. р е равно на 5. Сигурно вече се досети при какви условия ред от този вид е сходящ или разходящ. Редът е сходящ, когато р е по-голямо от 1, какъвто очевидно е нашият пример тук. Тук р очевидно е по-голямо от едно. Редът е разходящ, когато р е по-голямо от нула, но е по-малко или равно на единица. Тогава ред от този вид ще е разходящ. Ако тук например беше 0,9, или ако беше 3/4, редът щеше да е разходящ. Този пример тук е на сходящ ред. Да разгледаме още един пример. Добре. Тук сигурно отново разпознаваш ред от описания горе вид. Ще преработя този безкраен ред. Това е сумата за n от 1 до безкрайност от 1 върху, да видим, имаме квадратен корен от 2, квадратен корен от 3. Можем да го представим като 2 на степен 1/2, 3 на степен 1/2, 4 на степен 1/2. Тук става n на степен 1/2. Обърни внимание, че когато n е равно на 1, 1 върху 1 на степен 1/2 е равно на 1. 1 върху 2 на степен 1/2 е това тук. И продължаваме така до безкрайност. В този случай отново имаме ред с общ член 1/n^р. Общият член е 1 върху n на някаква степен, която е положителна. Но обърни внимание, че тук степента е между 0 и 1. Нашето р е 1/2. Стойността на р в този ред е 1/2, което е между 0 и 1. Спомни си, че този вид редове са разходящи, когато р е по-голямо от 0 и е по-малко от 1. Очевидно нашият пример е такъв. Значи този ред е разходящ.