Решен пример: интервал на сходимост

Дадена ни е безкрайна сума и целта на това видео е да опитаме да намерим интервала на сходимост на този ред. Това е друг начин да попитаме за кои стойности на х, в кой интервал от стойности на х този безкраен ред е сходящ. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да опиташ да го решиш самостоятелно. Когато разгледаш този ред, той не попада точно в групата на геометричните редове или редовете с алтернативно редуващи се знаци. Когато видя нещо такова, се сещам за критерия на Даламбер (за частното), защото той е много общ. За да приложим критерия на Даламбер, трябва да намерим границата, когато n клони към безкрайност, границата на (n + 1)-вия член, разделен на n-тия член, границата на абсолютната стойност на това. Ако това частно е по-малко от 1, тогава редът е сходящ. За стойностите на х, за които това е по-голямо от 1, това е разходящо. За стойностите на х, за които това е равно на 1, тогава не можем да направим заключение и трябва да използваме други критерии, за да определим дали е сходящ или разходящ редът. Сега да видим това и да го изчислим. Границата, когато n клони към безкрайност, границата на абсолютната стойност на a_(n +1) равно на х на степен (n + 1)... Ще използвам различни цветове, за да следим какво се случва. Това ето тук ще бъде х на степен (n +1) върху (n + 1) по 5 на степен (n + 1). Ще разделим това на n-тия член. Това просто става х^n върху n по 5 на степен n. Ще вземем абсолютната стойност на цялото това нещо. Хайде да го опростим, ще го направя тук долу. Това е равно на х^(n + 1) върху (n + 1) по 5^(n + 1) по реципрочното на това. Това става n по 5^n, върху х^n. Можем да опростим това. Това ще е равно на, да видим, делим числителя и знаменателя на х^n, остава само х. После делим числителя и знаменателя на 5^n. Това тук ще бъде 1, това е 1, и това тук става, 5^(n + 1) делено на 5^n е просто 5. И какво остана? Остана х по n върху... разкриваме скобите и умножаваме по 5, 5n плюс 1. О, трябва да внимавам тук. Пак ще умножа по 5. 5n + 5, пет по n, пет по едно. 5n плюс едно, 5n плюс 5. Добре, сега ще преработя това. Това ще е равно на границата от абсолютната стойност на това нещо при n клони към безкрайност, границата от абсолютната стойност на това нещо. И за да си помогнем с тази граница, ще го преработя ето така. Ще разделя и числителя, и знаменателя на n. Не променям стойността, умножавам и числителя, и знаменателя. Деля ги на едно и също нещо. Деля числителя и знаменателя на n, получавам х върху (5 + 5/n). Когато разделим числителя и знаменателя на n, тук е очевидно какво се случва, когато n приближава безкрайност. Когато n клони към безкрайност, х не се променя, 5 не се променя, 5/n клони към нула. Значи тази граница е равна на х/5. Това е много ясно, много очевидно. Сега можем да разсъждаваме отново... всъщност ще го напиша. Това ще е равно на абсолютната стойност на х/5. Сега можем да помислим при какви условия абсолютната стойност на х/5 ще бъде по-малко от 1 и определено ще имаме сходимост. При какви условия ще имаме по-голямо от 1 и категорично имаме разходимост? После при какви условия не можем да направим заключение? Да дивим кога знаем, че е сходящо. Абсолютната стойност на х/5 е по-малко от 1. Това е ситуация на сходимост. Това е същото, като да кажем, че –1 е по-малко от х/5, което е по-малко от 1. Умножаваме всички страни по 5. Това става –5 е по-малко от х, което е по-малко от 5. Когато това е вярно, определено това ще бъде част от интервала на сходимост. Знаем, че ако х отговаря на тези условия, тогава редът ще бъде сходящ. Но това не е всичко. Трябва да видим случая, когато не можем да направим заключение. Да разгледаме сценария, когато абсолютната стойност на х/5 абсолютната стойност на х/5 е равна на 1. Друг начин да разглеждаме това, това означава, че х/5 е равно на 1 или х/5 е равно на –1. Това означава, че х = 5 или х = –5. Това са двата случая, в които не можем да направим заключение с критерия на Даламбер. Да ги разгледаме отделно, като разгледаме реда и просто заместим х = 5 и х = –5. В първия случай – ще взема нов цвят, ще използвам червено. Значи за първия случай х = 5, да се върнем при реда. Редът ще бъде сумата за n от 1 до безкрайност, сумата от (5^n)/n по 5^n. Това е равно на сумата за n от 1 до безкрайност, сумата от 1/n. Това е хармоничен ред. Това е хармоничен ред, за който р е равно на 1. И ние знаем, че той е разходящ. Знаем за хармоничните редове, с които сме работили в други клипове, че те определено са разходящи. Значи това е разходящо. Можем да проверим и с критерия за сходимост на степенни редове. Ако р за степенния ред е единица, тогава редът е разходящ. Сега да помислим, 5 определено не принадлежи на интервала на сходимост. Сега да разгледаме х = –5. Когато х = –5... ще взема друг цвят. Когато х = –5, тогава това ще е равно на сумата за n = 1 до безкрайност, сумата от –5^n. Сега ще представя това като... ще го представя като (–5)^n върху n по 5^n. Това е равно на сумата за n от 1 до безкрайност... Можем да напишем това като (–1)^n по 5... по 5^n, върху n по 5^n. И сега това нещо, това е хармоничен ред с алтернативно сменящи се знаци. И тук можем да използваме, може би вече знаеш, че е сходящ, или може да използваш критерия за ред с алтернативно сменящи се знаци, т.нар. критерий на Лайбниц, може да е по-ясно, ако го напишем ето така. Това е ред с алтернативно сменящи се знаци. При използване на критерия на Лайбниц, ако видим, че това намалява монотонно, и че границата е равна на нула, когато n клони към безкрайност, значи това е сходящо. Хармоничният ред с алтернативно сменящи се знаци е сходящ. Щом това е сходящо, това тук можем да разглеждаме като граница. Можем да включим тази стойност в интервала на сходимост. Значи х не трябва да бъде строго по-голямо от –5, трябва да е по-голямо или равно на –5, но трябва да е по-малко от 5. Това е действителният интервал на сходимост.