Критерий на Даламбер

Вече имаме доста опит със сумите на геометричните прогресии. Например, ако имаме безкрайната сума от членовете на геометрична прогресия r^n за n = k до безкрайност , което представлява r^k + r^(k + 1) + r^(k + 2) и продължаваме така до безкрайност. Вече знаем няколко неща тук. Знаем колко е частното. Частното е отношението между два съседни члена, то ще бъде r^(k + 1)... Ще го запиша като r^(n + 1)... Не искам да го фиксирам като k тук. r^(n + 1)/ r^n. Това е равно на r. Всеки израз на степен (n + 1) върху същия израз на степен n, това просто е равно на r, или на r на първа степен, както можеш да видиш ето тук. Когато отиваме от един член до друг, просто умножаваме по r, като всичко това тук е проговор. Ако за теб не е преговор, ти препоръчвам да гледаш клиповете за геометрични прогресии. Интересното за това е, че сме доказали вече в уроците за сума на геометрична прогресия, че частното, ако абсолютната стойност на частното е по-малко от 1, то тогава този ред е сходящ (критерий на Даламбер). И ако абсолютната стойност на r е по-голяма ли равна на 1, тогава редът е разходящ (критерий на Даламбер). Това е логично, ние го доказахме, но то също така е и логично, че ако абсолютната стойност на r е по-малко от 1, то всеки член на реда ще е по-малък с коефициент, равен на частното, той е произведение с това частно, и членовете на реда ще стават по-малки и по-малки, и е напълно логично, че макар това да е една безкрайна сума, тя ще клони към някаква крайна стойност. Сега, след като преговорихме това, да видим нещо още по-интересно. Да кажем, че искам да разгледам, искам да определя дали един ред като този, за n от 5 до безкрайност от n^10... Числителят нараства бързо, n^10 върху n! (n факториел), а факториелът знаем, че нараства много, много бързо, вероятно нараства много по-бързо даже от полином на такава висока степен, или от член на толкова висока степен, но как да докажем, че това е сходящо? Можем да използваме необходимото условие за сходимост, за да покажем, че този ред не е разходящ, но как да докажем, че той всъщност е сходящ? Можем да използваме подобна логика. Да видим дали можем да определим частното. Да видим има ли тук частно. Взимаме (n + 1)-члена, който ще бъде (n + 1)^10 върху (n + 1)! и разделяме това на n-тия член, значи разделяме на n^10/n!. Когато делим на дроб, или когато делим на нещо, това е равносилно на умножение по реципрочното му. Така че неща просто умножим по реципрочната стойност, значи по n!/n^10. Спомни си какво се опитвам да направя ето тук. Търся дали имаме частно. Сега ще използваме малко алгебрични преобразувания, (n + 1)!, сметките с факториел са винаги забавни. Това е равно на (n +1) по n!, по n факториел. Тук нямаме ред на действията, когато работим с факториел. Този факториел тук се отнася само за това n. Защо това е полезно? Защото този n! се съкращава с този n!, и ни остава само (n + 1)^10 върху (n + 1) по n^10. Знам какво си мислиш сега. "Тук няма фиксирано частно." Частното между съседните членове тук, когато разделя (n + 1)-вия член на n-тия член, частното се променя в зависимост от n. Това частно, ако мога да кажа така, е функция от n, така че това не изглежда да върши работа. Обаче, ако кажа: За всеки от тези редове, се интересуваме от поведението, когато нашето n стане много, много голямо, когато n клони към безкрайност. Ако разгледаме поведението тук, ако това клони към някакви действителни стойности, когато n клони към безкрайност? Тук изглежда логично, че можем да разглеждаме това като граница на частното. Хайде да го направим. Да намерим границата на това, когато n клони към безкрайнсот. Спомни си какво правим тук. Това не е някаква вуду магия. Сега ще копирам и ще поставя това. Теоретично, ние се опитваме да оценим към какво се доближава нашето частно. Колко е частното между съседните членове? Между члена (n + 1) и n-тия член, когато n става много, много голямо? Виждаме ето това тук, дори няма нужда да умножаваме, това ще бъде n^10 плюс всичко това. Това е полином от 10-та степен, а това тук ще бъде... всъщност може да го намериш – това ще бъде n^11 плюс n^10. Така че границата, когато n клони към безкрайност, тогава този знаменател ще нараства по-бързо от това. Можем да разделим числителя и знаменателя на n^10, всъщност числителя и знаменателя на n^11, и всичко тук горе ще стане нула, това ще стане 1, тогава границата ето тук, тази граница ще бъде равна на... Тази граница ще бъде равна на нула. Когато n клони към безкрайност, частното между съседните членове клони към нула. И тук изглежда, ако използваме логиката от частното тук, когато разглеждахме геометрична прогресия, това очевидно не е геометрична прогресия, но можем да кажем: "Когато n стане много, много голямо, частното между съседните членове става все по-малко и по-малко." Може би можем да направим същия извод, че следователно този ред е практически сходящ. Редът практически е сходящ, така че редът с общ член n^10/n! е сходящ. Можем ли да твърдим това? Отговорът е да, можем, и можем благодарение на граничната форма на критерия на Даламбер. Ще го запиша. Граничната форма на критерия на Даламбер. Той ни казва, че ако имаме безкраен числов ред, за n от k до безкрайност, и ако намерим границата, когато n клони към безкрайност, границата на абсолютната стойност на а^(n +1) върху а^n, като тук не взимам абсолютната стойност на границата, но напълно можем да вземем абсолютна стойност на границата, абсолютната стойност на тази граница, ако всички тези членове ето тук са положителни, абсолютната стойност на границата е равна на себе си. Ако това клони към някаква граница, отново, тази граница е нашето частно между последователните членове, когато n става все по-голямо, частното ни казва, че ако L е по-малко от 1, какъвто е случаят тук, L определено е по-малко от 1, тогава редът е сходящ. Според някои дефиниции, той е абсолютно сходящ, редът от абсолютните стойности на членовете му е сходящ, но това означава също, че самият ред е сходящ. Ако L е по-голямо от 1, тогава редът е разходящ. Ако L е равно на 1, тогава не можем да заключим, не знаем дали редът е сходящ или разходящ. Трябва да използваме друг критерий, за да докажем дали е сходящ или разходящ. Това е смисълът на граничната форма на критерия на Даламбер. Да намерим абсолютната стойност на частното между съседните членове, намираме границата, когато n клони към безкрайност, и ако това клони към действителна граница, и тази граница е по-малко от 1, тогава редът е сходящ, като това почива на същия основен принцип, който се отнася за частното на геометричните прогресии, където се прилага критерият на Даламбер.