Намиране на функция от степенен ред чрез интегриране

Знаем, че за х в отворения интервал от –1/2 до 1/2 –2/(1 – 2х) е равно на следния ред. Казват ни, че като използваме този факт, да намерим функцията, която съответства на този ред. Както винаги, препоръчвам да спреш видеото и да видиш дали можеш да го решиш самостоятелно. Първото нещо, което може би ти хрумва, е откъде знаем, че този израз е равен на този ред? Може би разпознаваш, че този ред е геометричен ред, в който първият член е –2, а частното, отношението между два съседни члена, е 2х, умножаваме по 2х. За геометрични редове като този сумата е равна на първия член, –2, върху 1 минус частното, което е точно този израз ето тук. Ето така разбираме това. Това ето тук ни дава радиуса на сходимост, стойностите на х, за които това е сходящо. Сега, като се уверихме в първото твърдение, да се опитаме да отговорим на самия въпрос. Искат да намерим функцията, която съответства на този ред. Инстинктът ми подсказва, че трябва да определим как този ред е свързан с дадения ред. Да видим, първият член е –2х, и тук първият член е –2х. Това е –4х, това е –2х^2. Може би се досещаш, че вторият ред е примитивната функция на първия. Можем да кажем, че този първи ред е производна на втория. Колко е производната на –2х спрямо х? Тя е –2. Колко е производната на –2х^2 спрямо х? Тя е –4х и така нататък. Така че, ако наречем това... нека да го наречем всъщност ще напиша, че това е равно на g(х). Значи мога да взема това отдясно и да намеря g(х) като примитивна функция, като намеря неопределен интеграл. Така че можем да вземем неопределен интеграл от двете страни, dx. Отдясно ще получа g(х). Отляво ще получа, всъщност ще го напиша ето така. Отляво ще го преработя, ще получа неопределен интеграл от, ще го запиша като –2, dх върху 1 – 2х. Това е просто друг начин да запишем това, което имаме тук отляво. Това е равно на g(х), нали? Ако намерим примитивната функция на това, или примитивната функция на това, това е g(х), когато константата е нула. Значи е равно на g(х). Тук ключово е да намерим неопределения интеграл на това нещо, и можем веднага да разпознаем това, което имаме тук отдолу, имаме неговата производна отгоре. Мога да приема, че това е u. Ако кажа, че u е равно на 1 – 2х, това е просто полагане, тогава du е равно на производната от това спрямо х, което е –2, dх. Значи тук имам du. Ще преработя това. Мога да запиша това като интеграл от du върху u е равно на g(х), и това мога да представя като натурален логаритъм от абсолютната стойност на u + с, което е равно на g(х). Сега можем да заместим обратно на полагането, заместваме u обратно, заместваме 1 – 2х. Мога да напиша натурален логаритъм от абсолютната стойност на 1 – 2х е равно на + с, не искам да го забравям, + с е равно на g (х). Следващото нещо е да намерим колко е с. Най-лесният начин да го намерим, е да заместим с х = 0. Да помислим малко за това. Ако поставя тук нула, ако заместя с х равно на... всъщност ще го напиша отново. Имам натурален логаритъм от, ако кажа х е равно на 0, това ще бъде натурален логаритъм от абсолютната стойност на 1 + с, е равно на g(0). Колко е g(0)? g(0), всеки от тези членове е равен на нула. g(0) е равно на нула. Натурален логаритъм от едно е просто нула. Значи 0 + с е равно на 0, следователно с е равно на 0. Готово. Намерих примитивната функция на двете страни на това равенство ето тук. Намерих, като заместих с х = 0, че константата с ще е равна на 0, и получих, че този ред, това g(х) е равно на натурален логаритъм от абсолютната стойност на (1 – 2х). Сега, ако запазим тези ограничения, че х е в този отворен интервал, тогава това винаги ще бъде положително. И няма нужда да пишем абсолютна стойност, но можем да се застраховаме, като запишем знак за абсолютна стойност. И това е. Използвахме горната информация и намерихме функцията, която съответства на този ред. Предполагам, че ще кажеш, че номерът беше да разпознаем, този ред тук е производна на долния ред. Така че това е производната на следния ред, и така просто намерихме примитивната функция на двете страни, или неопределен интеграл от двете страни.