Интегриране на степенен ред

Дадено е, че f(х) е равна на безкраен ред за n от 1 до безкрайност, от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n. Искаме да намерим определен интеграл от 0 до 1 за тази функция f(х). Ако усещаш прилив на вдъхновение, те насърчавам да спреш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно, както и във всеки друг момент можеш да натиснеш бутона за пауза и да опиташ самостоятелно. Хайде да преработим малко това. Това е равно на интеграл от 0 до 1... f(х) е този ред, така че мога да запиша сумата за n = 1 до безкрайност от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n. Сега ще направя нещо, което може би е ново за теб, но е важно, когато намираме определен интеграл от сума от някакви членове. Това е същото като да намерим сумата от отделни определени интеграли. Искам да поясня това. Ако имам този определен интеграл, от нула до 1, и да кажем, че той съдържа някакви членове. Мога дори да ги нарека функции. Да кажем, че това е g(x) + h(x) и така нататък, dx. Това е равно на сумата от интегралите от нула до 1 от g(x)dx, плюс интеграл от нула до 1 h(x)dx, плюс... и така до безкрай или колкото члена има тук. Това следва от свойствата на интегрирането. Тук можем да направим същото нещо, макар че ще го направя със знака сигма. Това е равно на сумата за n от 1 до безкрайност от определен интеграл от всеки от тези членове. Ще го запиша ето така. От интеграл за 0 до 1 от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n, dx. Повтарям, сега намираме сумата от всички тези членове. Да сметнем това тук. Това ще бъде равно... ще продължа тука... това е равно на сумата за n от 1 до безкрайност и после това, което подчертах в оранжево, това ще бъде, да видим, намираме примитивната функция. Получаваме х^(n + 1). и после делим на (n + 1). Имаме това първоначално (n + 1) върху 4^(n + 1), което е константа, когато го разглеждаме по отношение на х, за всеки от тези членове, и после искаме да увеличим с 1 степенния показател, и после да разделим на повишения степенен показател. Това е просто прилагане наобратно на правилото за намиране на производна. Значи става х^(n + 1) върху (n + 1). Току-що намерих примитивната функция и това е от нула до 1 за всеки от тези членове. Преди да го направим, нека да опростим. Имаме (n + 1), имаме (n + 1) и сега можем да преработим това. Това ще бъде равно на... това е сумата за n от 1 до безкрайност, и това ще бъде това, което имаме тук, когато х е равно на 1, то е 1, значи имаме 1 на степен (n + 1), върху 4 на степен (n + 1). Всъщност защо да не го запиша ето така. 1 на степен (n + 1) върху 4 на степен (n + 1), минус нула на степен (n + 1) върху четири на степен (n + 1). Даже не трябва да пишем това. Мога да запиша нула на степен (n + 1) върху 4 на степен (n + 1), но това очевидно е нула. И сега това започва да се опростява, получаваме, че е равно на сумата за n от 1 до безкрайност. Почти заслужаваме овации, от 1/4 на степен (n + 1). Може би вече можеш да разпознаеш това. Това е безкраен геометричен ред. Кой е първият член? Първият член е... за n = 1, първият член тук е 1/4 на квадрат. Вярно ли е това? Да. Когато n = 1, това ще бъде 1/4 на квадрат, което е равно на 1/16, това е първият ни член. Частното е равно на... тук просто продължаваме да умножаваме по 1/4, значи частното е 1/4. За безкрайния геометричен ред, абсолютната стойност на частното е по-малка от 1, знаем, че това ще е сходящ ред, и ще е сходящ към стойността... първият член, 1/16, делен на 1 минус частното, (1 – 1/4), което е 3/4, значи това е равно на 1/16 по 4/3. Това е равно на 1/12. И сме готови. В началото изглеждаше много сложно, но просто трябва да осъзнаем, че интеграл от сума, даже от безкрайна сума, е равен на сумата от тези безкраен брой интеграли. Намираме примитивните функции за тези интеграли, което направихме, и което е яко, една от силите на математиката, и после осъзнахме, че имаме просто безкраен геометричен ред, за който знаем как да намерим сумата. И сме готови.