Решен пример: разходимост/сходимост на редици

Тук явно сме задали 4 различни редици. Искам да помислим дали тези редици са сходящи или разходящи. Спомни си, че сходимостта означава просто, че когато n става все по-голямо и по-голямо, и по-голямо, стойността на редицата клони към някаква стойност. Разходяща означава, че не клони към никаква стойност. Нека ги разгледаме. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да се опиташ самостоятелно да ги определиш, преди да ти го обясня. Нека разгледаме първата редица тук. Числителят е n плюс 8 по n плюс 1, знаменателят е n по n минус 10. Единият от начините да го разглеждаме, е какво се случва, когато n става по-голямо и по-голямо, като разгледаме степента на числителя и степента на знаменателя. Интересува ни степента, защото искаме де видим, дали числителят нараства по-бързо от знаменателя? Като в този случай това ще клони към безкрайност и ще имаме разходяща редица. Или дали може би знаменателят нараства по-бързо, в който случай това може да клони към 0? Или може би те нарастват с еднакъв темп и може би ще са сходящи към различни числа. Нека умножим числителя и знаменателя, и го намерим. n по n е n на квадрат. n по 1 е 1n, плюс 8n е 9n. И след това 8 по 1 е 8. Числителят е n на квадрат плюс 9n плюс 8. Знаменателят е n на квадрат минус 10n. Единият от начините да го разглеждаме, е че n става наистина, наистина, наистина, наистина голямо, какво ще доминира в числителя -- този член ще представя повечето стойности. Този член ще представя повечето от стойностите също. Другите членове няма да нарастват. Очевидно е, че това 8 не нараства изобщо. Но членовете n няма да нарастват толкова бързо като членовете n на квадрат, особено за големи n. За много, много големи n това наистина ще клони към n на квадрат върху n на квадрат или 1. Следователно е основателно да кажем, че това е сходяща редица. Тази е сходяща редица. Още веднъж няма усилено да го доказвам тук. Или би трябвало да кажа, че няма строго да го доказвам тук. Но даденото е, че имаме една и съща степен в числителя и знаменателя. Сега нека разгледаме тази тук. Тук в числителя имам е на степен n. А тук имам е по n. Това нараства много по-бързо. Имам предвид, че това е е на степен n. Представи си, че ако имаш тук 100, е на степен 100 ще бъде доста голямо число. е по 100 -- е просто 100е. Нараства много по-бързо от това тук. Това нещо просто ще се надуе като балон. Това ще отиде към безкрайност. Следователно можем да кажем, че това е разходяща редица. Това е разходяща редица. Сега нека разгледаме тази тук. Имаме член с по-висока степен. Имаш по-висока степен в числителя отколкото в знаменателя. n на квадрат очевидно ще нараства по-бързо от n. Поради същата причина като редицата b с индекс n, това нещо ще бъде разходяща редица. Числителят ще нараства много по-бързо от знаменателя. Или друг начин да го разглеждаме, е че границата, когато n клони към безкрайност, ще бъде безкрайност. Това нещо ще отива към безкрайност. Сега нека помислим върху тази редица тук. Когато n се увеличава -- можем дори да помислим как ще изглежда редицата. Когато n е 0, минус 1 на нулева е 1. Когато n е 1, ще имаме минус 1. Когато n е 2, ще имаме 1. Така че това просто ще продължи да варира между минус 1 и 1. Следователно няма граница. Няма да стига до плюс или минус безкрайност или нещо подобно. А ще варира между тези две стойности. Следователно няма да е сходяща до една определена стойност. Така че въпреки, че тази редица не е ограничена -- не отива до безкрайност -- тя е разходяща. Не отива до една стойност. Нека го запиша. Това е разходяща редица.