Безкрайни редове като граница на частични суми

Дадена е безкрайна сума от членовете на редица S, това е сумата от n = 1 до безкрайност от a с индекс n (а_n). Можем да го запишем като а_1 + a_2+... и така продължава до безкрайност. Продължава до безкрайност. Да кажем, че сме записали в общия случай, че имаме формула за частичната сума S. Знаем, че S_n е равно на ((2n)^3)/((n + 1)(n + 2)). Въпросът ми е, въз основа на тази информация, че S_n е общият вид на сумата на този безкраен числов ред, но имам и частична сума. Сумата на първите n члена S_n е дадена с тази формула тук, тогава дали този ред е сходящ или не? Дали това клони към някаква крайна стойност или е неограничена и разходяща? Един начин да помислим за това е представата, че безкрайният числов ред S е просто граница за нашите частични суми, когато n клони към безкрайност. Какво означава това? Нека да имаме редица от частични суми. Имаме S_1, S_2, S_3 и така нататък, това са сумите на първите членове. Това е сумата на първите два члена. Това е сумата на първите три члена и сега да помислим какво се случва с тази редица, когато n клони към безкрайност, защото това означава числов ред. Това е сумата от първите, ако мога да кажа така, първите безкрайно много членове. Това е сумата от всички безкрайно много членове. Да помислим какво е това. Границата на S_n, когато n клони към безкрайност. Това е границата, когато n клони към безкрайност, за този израз ето тук. ((2n)^3)/((n + 1)(n + 2)). Има няколко начина да намерим това. Единият е да си кажем: "Тук отдолу това е полином от втора степен." Тук отгоре имаме трета степен, така че числителят ще нараства по-бързо от знаменателя, значи това ще нараства неограничено. Това веднага ти подсказва, че когато това клони към безкрайност, S ще е разходящо. Но ако искаш да бъдем малко по-точни, тогава можем да го преработим алгебрично. Границата, когато n клони към безкрайност, 2n^3 върху... нека да разкрием скобите тук – n^2 + 3n + 2. Да видим, можем да разделим числителя и знаменателя на n^2. Тогава това е границата, когато n клони към безкрайност, от ... ако разделим числителя и знаменателя на n^2, тогава... нека да разделим числителя, делим числителя на n^2, получаваме 2n, а знаменателят, разделен на n^2 става 1 + 3/n + 2/(n^2). Сега, когато го разглеждаме така, става много ясно, че когато това доближава безкрайност, това нещо клони към безкрайност, но този израз долу в знаменателя клони към 0. Това клони към 0, така че знаменателят клони към 1. Така целият израз е равен на границата, когато n клони към безкрайност, тъй като границата на частичната сума клони към безкрайност, това означава, че този безкраен числов ред не клони към конкретна стойност. Той е разходящ. Значи този израз тук е разходящ. За да бъде сходящ, това нещо тук, тази граница, трябва да е някакво крайно число. Надявам се, че разбираш логиката. Просто казваме, че за безкрайните редове, имаме формула за частичната сума на първите n члена и че тези безкрайни редове могат да бъдат разглеждани като граница на частичната сума S_n, когато n клони към безкрайност. Ако тази граница клони към безкрайност, тогава редът е разходящ.