Частични суми: формула за n-тия член от частична сума

Това е n-ата частична сума на един безкраен ред, в който се сумират всички негови членове аn от n=1 до n равно на безкрайност. Дават ни формулата за сбора на първите n-члена. От нас се иска да запишем на колко е равен n-тия член. За да ни бъде по-лесно, ще направя тук една визуализация. Ако имам а1 + а2 + а3... и продължа да събирам чак до а(n – 1) + аn. Цялото това нещо, което написах, това е Sn. Всичко това тук е Sn, което е равно (n + 1)/(n + 10) За да намерим a с индекс n, което се иска в задачата, можем да извадим сумата от първите (n –1) члена. Ще извадя това. Това е S с индекс (n – 1), и на колко ще е равно? Навсякъде, където имаме n, ще го заместим с (n – 1). Ще получим n – 1 + 1 върху n – 1 + 10, което е равно на n/(n + 9). Ако извадим синия израз от червения израз, ще ни остане само това, което да сметнем. Остава a с индекс n. Можем да напишем, че аn е равно на Sn, е равно на Sn минус S(n – 1). или можем да запишем, че е равно на това тук. Това е (n + 1) върху (n + 10) минус n върху (n + 9). Това е само по себе си формула за Sn. Но можем да съберем тези членове, да съберем тези две дроби. Това се отнася за случая, когато n > 1. За n > 1 S1 ще бъде равно на... а1 ще бъде равно на S1. После за всяко друго n, можем да използваме това. И ако искаме да опростим, можем да съберем тези две дроби. Събираме тези две дроби, като привеждаме към общ знаменател. Да видим, ако умножим числителя и знаменателя по (n + 9), тогава ще получим, че това е равно на (n + 1) по (n + 9), върху (n + 10) по (n + 9). И сега ще извадим. Да умножим числителя и знаменателя тук по (n + 10). Получаваме n по (n + 10), върху (n + 9) по (n + 10). Какво ще получим? Ако го опростим, ще получим че това е n^2 + 10n + 9, това е ето това. Това тук е n^2, плюс 10n, което е в този червен цвят. Това е n^2 + 10n, като сега, спомни си, че трябва да извадим това. Близо сме до аплодисментите, а с индекс n е равно на нашия знаменател тук (n + 9) по (n + 10). Сега ще извадим червения израз от синия израз. Изваждаме n^2 от n^2 и те се унищожават. Изваждаме 10n от 10n и те се унищожават. И ни остава това синьо 9. Ето така изразихме, записахме формула за а с индекс n, когато n е по-голямо от 1.