Формална дефиниция за граница на числова редица

В това видео искам да представя една по-строга дефиниция за това какво означава да имаме граница на една прогресия, когато n клони към безкрайност. Ще видим, че тя е всъщност доста подобна на определението за всяка една функция, когато границата достига безкрайност. Това е така, защото прогресията може да бъде разглеждана просто като функция от нейните индекси. Ще начертая една произволна редица ето тук. Всъщност неща я начертая по този начин, за да изясня към какво ще клони границата. Нека начертая прогресия, която просто подскача наоколо малко. Ще кажем, че когато n е равно на 1, a(1) е там, когато n е равно на 2, a(2) е там, когато n е равно на 3, a(3) е там, когато n е равно на 4, a(4) е ето тук, когато n е равно на 5, a(5) е ето тук. Като изглежда, че n -- това е 1, 2, 3, 4, 5 -- изглежда, че когато n става все по-голямо и по-голямо, и по-голямо изглежда, че a(n) клони към някаква стойност. Изглежда, че се приближава все повече, изглежда че се съсредоточва в някаква стойност L ето тук. Като ние трябва да стигнем до дефиниция за това, какво всъщност означава да имаме сходимост към L? Нека кажем, че за да имаме сходимост към L за всяко, за всяко ε по-голямо от 0, за всяко епсилон, което можеш да получиш или нека го напиша по този начин. За всяко положително епсилон има положително М, главна буква М, при което ако малко n е по-голямо от главно М, тогава разстоянието между a(n) и границата, това L ето тук, разстоянието между две точки е по-малко от епсилон. Ако имаш това за всяко епсилон, по-голямо от 0, ако има положително М, при което ако n е по-голямо от М, разстоянието между a(n) и границата е по-малко от епсилон. Можем да кажем, че границата на a(n), когато n клони към безкрайност, е равна на L. И можем да кажем, че a(n) се съсредоточва, сходява се към L. Нека направим разбор на това. Тук правя твърдението, че a(n) клони към това L тук, опитах да го начертая като хоризонтална права. Тази дефиниция на това, какво означава да имаме сходимост гласи, че за всяко епсилон, по-голямо от 0 -- нека избера епсилон, по-голямо от 0. Ще имам L плюс епсилон, всъщност нека го направя тук. Това е L плюс епсилон и нека кажем, че това тук е L минус епсилон. Ще начертая тези две граници ето тук. Избрах епсилон така, че за всяко произволно положително епсилон, можем да намерим положително М, при което стига да -- нека кажем, че това там е М. Стига n да е по-голямо от М, тогава a(n) ще се намира в границите на епсилон от L, ще бъде в обхвата на епсилон. Да бъде в рамките на епсилон от L по същество означава, да бъде в този обхват. Това тук просто означава, че казваме, че разстоянието между a(n) и L е по-малко от епсилон. Това ще бъде всяко от тези, които се намират между L минус епсилон и L плюс епсилон. Разстоянието между това и границата ще бъде по-малка от епсилон. Виждаме го точно ето тук, поне визуално, че ако изберем там да е М и ако имаме n, което е по-голямо от М, ако изберем n, което е по-голямо от М, ако М е равно на 3, изглежда че a(n) се приближава достатъчно. Ако М е 4, a(n) е дори още по-близо. То се намира в епсилон. Ако кажем, че това е вярно за всяко епсилон, което избираме, тогава можем да кажем, че границата съществува, че a(n) е сходящо към L В следващото видео ще използваме това определение, за да докажем в действителност, че дадена редица е сходяща.