Решен пример: коефициент в полином на Тейлър

Дадена е функцията f(х) = х^6 – x^3 и се търси коефициентът на члена, съдържащ (х + 2)^4 в ред на Тейлър, когато х = –2. Както обичайно те насърчавам да опиташ самостоятелно, преди да го решим заедно. Добре, да го решим. Принципно полиномът на Тейлър р(х) има вида... спомни си, че го разглеждаме в точката х = – 2, което означава, че изчисляваме функцията в тази точка. Ще я разделим на 0! (0 факториел!, което е просто 1. Ще го запиша навсякъде, за да виждаш закономерността, и даже можем да кажем, че това е умножено по х минус стойността на х, за която изчисляваме. Ако извадим –2, това е същото като (х + 2) на нулева степен, което ще бъде просто 1, затова често няма да виждаш това да се записва, но аз искам да ти покажа, че това е един последователен модел. После ще имаш плюс първата производна, изчислена за –2, делено на 1!, който е просто 1, по (х + 2) на първа степен, плюс втората производна, изчислена за –2, върху 2! по (х + 2)^2. Мисля, че виждаш накъде отива това, и тук ни интересува само членът от четвърта степен, но ще запиша и члена от трета степен, само за да добием повече практика. Значи третата производна, изчислена за –2, върху 3! по (х + 2)^3, и сега идва частта, която ни интересува, плюс четвъртата производна. Тук мога да напиша 4, но се надявам, че ме разбираш. И после изчисляваме за х = –2, делено на 4! по (х + 2)^4. Какъв е коефициентът тук? Трябва да намерим четвърта производна на първоначалната функция и да я пресметнем за –2 и да разделим на 4!, така че да го направим. Нашата функция, първата производна, f'(х) е просто – ще използваме правилото за производна от степен, 6х^5 минус 3х^2. Втората производна ще бъде равна на 5 по 6, което е 30, х^4. 2 по 3, –6 х на първа степен. Трета производна на х ще е равна на 4 по 30, което е 120, по х^3, минус 6 и после следва четвъртата производна, която всъщност ни интересува. Тя ще бъде 3 по 120, което е 360 х^2, като производната от константа е просто нула. Ако трябва да сметнем това за х = –2, тогава четвъртата производна, изчислена за х = –2 е 360 по –2 на втора степен, което е 4. Ще остава това като 360 по 4. Можем да сметнем това, но ще трябва да разделим на 4! Така целият коефициент става 360 по 4, това е числителят, делено на 4 факториел, това е 4 по 3, по 2, по 1. Четири делено на четири, това става едно. 360 делено на 3, можем да го разгледаме също като 360 делено на 6, което е 60. И това е всичко. Получихме 60, в знаменателя остана единица, което е просто 60. Това е коефициентът на този член.