If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: полином на Маклорен

Намиране на полином на Маклорен от втора степен на 1/√(x+1).

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадено е, че f(х) е равно на 1 върху квадратен корен от (х + 1). Искаме да намерим полином на Маклорен от втора степен за f. Както винаги, препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно да го решиш. Да си припомним какво е полином на Маклорен. Полином на Маклорен е просто полином на Тейлър, който е центриран около нула, така че търсим полином от втора степен на Маклорен, така че просто трябва да намерим този ред на Маклорен до членовете от втора степен, който ще изглежда ето така. Значи р(х), използвам р за полином, е равно на f(0) плюс... можем да напишем f(0) по х на нулева степен, което просто е f(0). f(0) плюс f'(0)х, плюс f''(0), делено на – можем да напишем 2 факториел, но то си е просто 2, а тук можем да приемем, че делим на 1!, което е просто 1, това делим на 0!, което също е 1, така че имаме f''(0), втората производна, изчислена за нула, разделено на 2, по х на квадрат. Ако искаме, можем да продължим с по-виси степени, но си спомни, че от нас се иска втора степен. Значи това е видът, който ни е нужен, ще имаме тези три члена. Сега да видим как ще намерим функцията и производните ѝ за нула. f(0) е равно на 1 върху квадратен корен от нула плюс едно, това е равно на 1 върху квадратен корен от 1, който е +1, така че това е равно просто на 1. Значи това тук е равно на 1. Сега да сметнем f'(х), а после да сметнем f'(0). f'(х) е равно на... 1 върху квадратен корен от (х + 1), това е равно на (х + 1), ще го напиша по следния начин: това е равно на... всъщност ще го напиша така. Друг начин да запишем f(х) е, че е равно на (х + 1) на степен –1/2. Първата производна от f, можем да използваме верижното правило, производната на (х + 1) спрямо х ще бъде 1, а после производната на целия израз в скобите спрямо (х +1) и тук ще използвам правилото за производна от степен, получаваме –1/2 по (х + 1) на степен... намаляваме степента и става –3/2. Първата производна за 0 е просто –1/2 по, ако това е нула, 0 + 1 е 1, 1 на степен –3/2, това е просто 1. Значи цялото това нещо, f'(0) е равно на –1/2. Това ето тук е –1/2. Сега да сметнем втората производна. Ще го направя със зелено. Втората производна спрямо х, правим отново същото, производната на (х + 1) спрямо х, това е просто 1, сега взимам производната на цялото нещо спрямо (х + 1). Взимам степенния показател, поставям го отпред, –3/2 по 1/2, по –1/2, това ще е равно на +3/4 по (х + 1), и после намалявам степенния показател с единица, или с две втори, така че става –5/2. Втората производна за х = 0, това е равно на нула, получаваме 1 на степен –5/2, което е просто 1, по 3/4, получаваме 3/4. Тази част тук е 3/4. Значи имаме 3/4 делено на 2, което е равно на 3/8. Така нашият полином на Тейлър, всъщност на Маклорен, полином от втора степен на Маклорен, р(х) е равно на – ще използвам същите цветове – ще е равно на 1 плюс, може би да го напиша като –1/2, минус 1/2 х, плюс 3/8 х^2, и сме готови, получихме го. Имаме полином от втора степен на Маклорен, който ни дава приближение на нашата функция, особено когато х е близо до нула.