Обратна матрица на прехода

Както в последните няколко урока, нека да приемем, че имаме някакво множество В от базисни вектори. Д кажем, че нашият базис съдържа v1, v2... vk. Тяхната линейна обвивка е подпространство с размерност k. Да приемем, че всеки от тези вектори принадлежи на Rn. Значи v1, v2 и така нататък до vk, всички тези вектори принадлежат на Rn. В последното видео видяхме, че можем да дефинираме матрица на прехода. Това звучи много засукано, но всъщност означава, че това е матрица, чиито вектор-стълбове са тези базисни вектори. Значи v1, v2... vk са нейните вектор-стълбове. Имаме k стълба, и имаме n реда, защото всеки от тези вектори принадлежи на Rn, така че те ще имат n елементи. Затова ще имаме n реда. Това ще бъде матрица с размери n x k. И в последното видео видяхме, че ако имаме някакъв вектор а, който принадлежи на Rn – приемаме, че вектор а принадлежи на линейната обвивка на В – можем да представим вектор а... можем да кажем, че вектор а е равен на матрицата на прехода по координатите на вектор а, изразени спрямо базиса. Това видяхме в последното видео. Ако знаем координатите на вектор а спрямо базиса В, можем да ги умножим по матрицата на прехода и ще получим вектора, изразен със стандартни координати. Или ако имаме вектор а, дефиниран със стандартни координати, тогава можем да намерим координатите на вектор а спрямо базиса В. Видяхме го в предходното видео. Сега да разгледаме един специален частен случай. Да приемем, че матрицата С е обратима. Какво означава това? Какво ни казва това за матрицата С? Когато матрицата С е обратима, това означава две неща. Това означава, че матрицата е квадратна, или че броят на редовете и стълбовете ѝ е равен. И че нейните редове или стълбове – можеш да избереш което искаш – трябва да са линейно независими – да изберем стълбовете. Второто твърдение е донякъде излишно. Ние знаем, че матрицата С има линейно независими стълбове, защото те са базис на подпространството. За да бъде базис, по определение, всички вектор-стълбове трябва да са линейно независими. Така че това е донякъде излишно. Но интересното е, че ако знаем, че матрицата С е обратима, то матрицата трябва да бъде квадратна. Ако всички тези вектори принадлежат на Rn, тогава k трябва да е равно на n. Значи това, че матрицата С е квадратна, означава, че k = n, или че имаме n базисни вектори. Ако това е така, тогава каква е линейната обвивка на В? Помисли върху това. Имаме n линейно независими вектори в Rn. Винаги, когато имаме n линейно независими вектори в Rn, тези вектори са базис на Rn. Защото всеки базис, който има n елемента – като всички те са линейно независими – ще бъде базис на Rn. Значи В е базис на Rn. Ако знаем, че матрицата С е обратима, това означава, че можем да представим всеки вектор в Rn като линейна комбинация на нашите базисни вектори. В последното видео искахме да се уверим, че този вектор принадлежи на линейната обвивка на тези вектори. Но сега не е нужно да доказваме това, защото ако матрицата С е обратима, тогава линейната обвивка на В ще бъде равна на Rn. Друг начин да го изкажем, е че ако линейната обвивка на В е равна на Rn, ако имаме n вектора ето тук, ако k = n, тогава знаем, че линейната обвивка на В трябва да е равна на Rn. Значи тук ще имаме n вектора, n линейно независими вектор-стълбове, и това ще е матрица n x n, в която всички стълбове са линейно независими. Значи матрицата С ще бъде обратима. Можем да напишем "тогава и само тогава, когато" за горното твърдение. Можем да го напишем и по друг начин. Ако линейната обвивка на В е Rn, тогава матрицата С е обратима. И това е удобно, защото ако тези две твърдения са верни, тогава можем да преработим същото уравнение. Да кажем, че знаем това и търсим това, тогава можем просто да умножим матрицата С по това. Да кажем, че знаем това и търсим ето това. Преди трябваше да правим разширена матрица, за да го намерим. Но ако знаем, че матрицата С е обратима, тогава знаем, че всеки вектор тук може да се представи в линейната обвивка на нашия базис. Значи всеки вектор тук може да се представи като линейна комбинация на тези вектори. Следователно знаем, че всеки вектор може да се представи с тези координати или с тези координати спрямо базиса. Можем да умножим двете страни на уравнението по С обратна. И какво ще получим след умножението? Това става С обратна по С, по вектор а с координати спрямо В е равно на С обратна по вектор а. Това тук (С обратна по С) е просто единичната матрица. Друг начин да напишем това е, че координатите на вектор а спрямо нашия базис В, който е линейната обвивка на Rn, е равен на матрицата С обратна по нашия вектор а. Да видим няколко примера. Да използваме това. Да използваме тази информация, както в предишното видео. Да разгледаме няколко конкретни примери. Нека да имаме някакъв базис, който е равен на... Ще дефинирам два вектора. Ще го направя по следния начин. Нека вектор v1 е равен на [1;3]. Нека вектор v2 е равен на [2;1]. Нашият базис е равен на множеството от векторите v1 и v2. Оставям на теб да провериш дали тези вектори са линейно независими. Казваме, че имаме два линейно независими вектори в R2, и че В е базис на R2. Нека матрицата С да е матрицата на прехода и е равна на [1;3;2;1], като знаем, че матрицата С е обратима. Всъщност, за да покажем, че матрицата С е обратима, трябва просто да намерим нейната обратна матрица. Колко е детерминантата на матрицата С? Детерминантата на С е равна на 1 по 1, минус 2 по 3. Значи е равна на –5. Това е детерминантата на матрицата С. Значи С обратна е – намерихме обща формула за обръщане на матрици с размер 2 х 2 – това е равно на 1 върху детерминантата на С, значи 1 върху –5, по... разменяме тези два елемента, значи разменяме единиците, и поставяме знак минус на тези два елемента. Стават –2 и после –3. Самият факт, че детерминантата на матрицата С е различна от нула означава, че тази матрица е обратима. Значи С е обратима матрица. Да кажем, че имам някакъв вектор а, който принадлежи на R2. Ще избера някакви произволни числа. Нека той да е равен на [7;2]. Искам да намеря координатите на този вектор спрямо базиса В. Ще получим следното. Знаем колко е вектор а, така че просто го умножаваме по С обратна, за да получим това тук, да получим координатите спрямо базиса В. Ще го запиша. Колко е матрицата С? Тя е ето това. Това е С обратна. Можем да напишем, че координатите на вектор а спрямо базиса В са равни на матрицата С обратна по вектор а със стандартни координати. Това е същото нещо. Ще заместя с действителните стойности. Координатите на вектор а спрямо базиса В ще бъдат равни на С обратна, която е минус 1/5 по 1, минус 3, минус 2, 1, по вектор а, т.е. по [7;2]. И на какво е равно това? Това е равно на –1/5. После получаваме 1 по 7, плюс –2 по 2. Това е –4. Значи 7 минус 4 е 3. После имаме –3 по 7, което е –21, плюс 1 по 2. Значи –21 плюс 2 дава –19. Значи координатите на вектор а спрямо базиса В са равни на... ще умножа по –1/5, и получаваме –3/5. После получаваме плюс 19/5. Значи 19 върху 5. Ето така. Сега да проверим това. Това означава, че вектор а е равен на –3/5 по първия базисен вектор, плюс 19/5 по втория базисен вектор. Да проверим дали е така. Да видим, –3/5 по [1;3] плюс 19/5 по [2;1]. Да видим на какво е равно това. Ще запиша двата вектора. Тук –3/5 по 3 е равно на –9/5. После го събираме с това. Значи плюс това, 2 по 19/5 е 38/5. Нали? Събираме 19/5 по 1, което е 19/5. После, ако съберем тези два вектора, какво ще получим? Получаваме –3/5 плюс 38/5. Това е 35/5. 35/5 е 7, минус 9/5 плюс 19/5. Това е 10/5 или 2. Получихме го. Това е нашият оригинален вектор а. Виждаме, че определено вектор а може да се представи като –3/5 по първия базисен вектор, плюс 19/5 по втория базисен вектор. Това беше случай, в който имахме някакъв вектор а, който искахме да представим с координати спрямо базиса В. А ако имаме обратния случай? Ако кажем, че имаме някакъв вектор w, чиито координати спрямо базиса В са... ще взема нещо просто – координатите му са [1;1]. Това е вектор w със стандартни координати. Тук можем само да умножим. Спомни си, че вектор w е равен на матрицата на прехода по координатите на вектор w спрямо базиса В. Значи вектор w ще е равен на матрицата на прехода, която е [1;3;2;1], по координатите на вектор w спрямо базиса В, т.е. по [1;1]. Това е равно на 1 по 1, плюс 2 по 1, което е 3. После имаме 3 по 1, плюс 1 по 1. Значи 3 по 1 е 3, плюс 1 дава 4. Значи вектор w е равен на вектора [3;4]. Тук видя, че ако матрицата на прехода е обратима, което е просто друг начин да кажем, че линейната обвивка на базиса е Rn – в този пример това беше R2 – тогава можем много лесно да преобразуваме координатите на вектора от стандартни координати и координати спрямо базиса В. Нали? Тези координати са спрямо базиса В. Това са стандартни координати. Тези координати са спрямо базиса В, това са стандартни координати. И можем да правим това просто като използваме тази информация, или просто като кажем, че координатите спрямо базиса са равни на матрицата С обратна по вектор а, или произведението на обратната матрица на прехода с вектор а. Или като кажем, че координатите спрямо стандартния базис са равни на матрицата на прехода, умножена по координатите спрямо дадения базис.