Трансформационна матрица спрямо базис, различен от стандартния

Дадена е някаква линейна трансформация Т, която изобразява от Rn в Rn. Ако това е множеството на първообразите, което е просто Rn, тогава множеството на образите също е Rn. Ако ми дадеш някакъв вектор от множеството на първообразите, да кажем, че това е вектор х, тогава Т ще го изобрази в някакъв друг член на Rn, което е и множество на образите. Значи ще го изобрази ето тук. Можем да наречем това изобразяване под трансформацията Т, или изобразяване на вектор х, или Т(х). Тъй като Т е линейна трансформация, знаем, че изобразяването на вектор х в множеството на образите е еквивалентно на това да умножим вектор х по някаква матрица А. Знаем, че това тук е равно на някаква матрица А по вектор х. Виждали сме това много, много пъти. Само искам да се уверя, че разбираш терминологията, казахме, че матрицата А е... можем да я наричаме или матрицата на Т, или да я наричаме трансформационна матрица на Т. В последните няколко урока учихме, че един вектор може да се представи по различни начини, може да се представи в различни координатни системи. Когато напишем вектор х просто ето така, приемаме, че той е представен със стандартни координати, или е представен спрямо стандартния базис. Искам да съм малко по-конкретен. Тази матрица А е трансформационната матрица на трансформацията Т само когато вектор х е представен със стандартни координати, или само когато вектор х е представен с координати спрямо стандартния базис. Затова тук ще запиша малко пояснения (Сал пише в синьо). А е трансформационната матрица на Т спрямо стандартния базис. Досега не съм записвал тази синя част. Никога дори не съм споменавал синята част досега, защото единствената координатна система, с която сме работили, беше стандартната координатна система спрямо стандартния базис. Но сега знаем, че съществуват множество различни координатни системи, че има различни начини за представяне на един вектор. Има много начини да представим този вектор, защото Rn има много линейни обвивки или базиси. Има множество базиси, чрез които да представим Rn, и за всеки от тези базиси можем да построим координатна система, в която можем да представим всеки вектор в Rn с координати спрямо този конкретен базис. Дотук всичко беше много общо, затова искам да го разгледаме по-конкретно. Нека имаме някакъв базис В, който съдържа n... трябва да са линейно незивисими. Това е определението за базис – n вектора v1, v2... vn. Това са n на брой линейно независими вектори. Всеки от тях принадлежи на Rn. Значи В е базис за Rn, което е просто друг начин да кажем, че всички тези вектори са линейно незивисими, и че всеки вектор в Rn може да бъде представен като линейна комбинация на тези вектори, което е друг начин да кажем, че всеки вектор в Rn може да се представи с координати спрямо този базис ето тук. Значи същият вектор х, ще поставя тук същата точка, когато го представим със стандартни координати, той просто ще бъде ето тук, това е вектор х. Но ако искаме да го представим с координати спрямо този нов базис, тогава същият този вектор х ще изглежда ето така. Ще го обозначим по този начин. Същият вектор може да се представи спрямо този базис В. Това ще е някакво множество от координати, някакво подредено множество от координати, но представящо същия базис В. По същия начин този вектор ето тук, той също е в Rn. Той може да бъде представен като някаква линейна комбинация от тези базисни вектори, или можем да го представим с координати спрямо този базис В. Използваме същата логика и тук, можем да го представим... Тази точка е ето тази тук. Но аз мога да я представя с координати спрямо нашия базис В ето така. Тук има един интерес въпрос. Това вероятно предизвиква интересен въпрос у теб. Ако започна с нещо, което е със стандартни координати, и ако приложа трансформацията Т – това е същото като да умножа по матрицата А, т.е. да умножа стандартните координати по матрицата А - тогава ще получа образ под Т със стандартни координати. Ами ако започна с това тук, което не е със стандартни координати, ако имам координати спрямо някакъв друг базис? Трансформацията Т пак ще го изобрази в този образ. Трансформацията, независимо каква е тя, трябва винаги да изобрази тази точка в тази точка. Тя не се интересува какви са нашите координати. Значи трансформацията Т ще изобрази в съвсем същата точка. Т пак е линейна трансформация. Тя може да изобрази х в Т(х), но това е същото като изобразяване от този начин на представяне на вектор х в този начин на представяне на вектор х. Така че можем да кажем, че може би това ето тук може да е някаква друга матрица по този вектор ето тук. Ще го запиша ето тук. Може би Т... Това са просто различни координатни системи. Дори не трябва да казвам може би. Този вектор може да бъде представен по този начин. Ако изразя изобразяването на вектор х в множеството на образите с координати спрямо базис В... това е този вектор ето тук – ако искам да представя тази точка в тази друга координатна система с координати спрямо този базис, това трябва да е равно на произведението ѝ с някаква матрица – ще нарека тази матрица D – някаква друга матрица D по това представяне на вектор х, по координатите на х спрямо алтернативната нестандартна координатна система. Трябва да мога да намеря някаква матрица D, която прави това. Тогава мога да кажа, че D е трансформационна матрица за трансформацията Т. Матрицата А приема, че вектор х е дефиниран със стандартни координати. Сега матрицата D приема, че координатите на вектор х са спрямо този базис, значи спрямо базиса В. Няма причина да не можем да направим това. Това са просто различни начини на представяне на съвсем същия вектор, същата точка в нашите множества. Значи, ако я представя по единия начин, по стандартния начин, умножавам по матрицата А и получавам А по х. Ако я представя с нестандартни координати, трябва да мога да умножа по някаква друга матрица и да получа друго нестандартно представяне на това, което се изобразява ето тук. Да видим можем ли да намерим някаква връзка между матриците D и А. Учихме преди няколко урока, че съществува матрица на прехода, която можем да получим от съответния базис. Тя може да бъде създадена много лесно. Матрицата на прехода е просто матрица, чиито стълбове са тези базисни вектори, така че v1, v2... тук трябва да има запетая. Това са просто стълбовете v1, v2... до vn. Това е матрица n x n. Всеки от тези вектор-стълбове принадлежи на Rn и броят им е n. Това е матрица n x n, където всички стълбове са линейно независими, така че знаем, че матрицата С е обратима. Това са вектор-стълбовете тук. Знаем, че матрицата С е обратима. Учихме в последните два или три урока, че ако имаме някакъв вектор х, който е представен с координати спрямо базиса В, то можем да просто да умножим това по тази матрица С и ще получим вектор х в стандартни координати. Това на практика означава, че линейната комбинация на тези вектор-стълбове дава вектор х. Понеже матрицата С е обратима, също така видяхме, че ако имаме стандартен формат на вектор х, или вектор х със стандартни координати, можем да го умножим по матрицата С обратна. Това ще ни даде вектор х с координати спрямо базиса В. Тези две уравнения... ако умножим двете страни на това уравнение (първото) – ще го направя с различен цвят – ако просто умножим двете страни на това уравнение по С обратна, за лявата му страна ще получим това уравнение ето тук. Като знаем това, да видим дали можем да намерим някаква зависимост. Да видим на какво е равно матрицата D по вектор х с индекс В. (вектор х с координати спрямо базис В) Ако умножим матрицата D по вектор х с индекс В, това тук ([Т(х)] с индекс В) трябва да е равно на матрицата D по представянето на вектор х с координати спрямо базиса В. Това е нашето твърдение. Казваме, че това е равно на матрицата D по представянето на вектор х с координати спрямо базис В. Ще го запиша цялото. Ще го напиша тук, защото мисля, че е добре да виждаме чертежа. Значи можем да кажем, че матрицата D по х с индекс В е равно на това тук. Това е същото нещо като трансформация на вектор х, представен с координати спрямо В, или с тези нестандартни координати. Това е равно на трансформацията на вектор х, представена в тази координатна система, представена с координати спрямо базис В. Виждаме това ето тук. Но какво представлява трансформацията на вектор х? Тя е равна на матрицата А по вектор х. Това е един вид стандартна трансформация, ако вектор х е представен със стандартни координати. Значи това е равно на вектор х със стандартни координати по матрицата А. После това ни води до тази точка със стандартни координати, но тогава ние искаме да преминем в нестандартни координати, ето така. Ако имаме това, как можем да разберем как ще изглежда А по х? Как ще изглежда този вектор? Можем да разгледаме това уравнение тук. Имаме това. Това е същото като това. Ако приложим Всъщност ние искаме да отидем в другата посока. Имаме това. Имаме това ето тук. Това е това ето тук. Искаме да получим просто тази точка, представена с обикновени, стандартни координати. Какво да направим? Ще умножим по матрицата С. Ще го напиша по следния начин. Ако умножим двете страни на това уравнение по матрицата С, какво ще получим? Получаваме това ето тук. Всъщност не. Гледах правилното уравнение първия път. Имаме това тук, което е същото като – първата интуиция винаги е правилна. Имаме това ([x] с индекс В), което е същото като това нещо ето тук ([Ax] с индекс В). „.Значи това ([x] с индекс В) можем да го преработим. Това можем да преработим като С обратна – тук нямаме вектор х. Имаме А по х, така че С обратна по А по х. Вектор А по х, представен с тези нестандартни координати, е същото като да умножим обратната матрица на прехода по вектор А по х. Ако имаме нашия вектор А по х, и ако го умножим по обратната матрица на прехода, тогава ще получим представянето на вектор А по х в нестандартния базис. А на какво е равен вектор х? Вектор х е равен на матрицата на прехода, по вектор х, представен с тези нестандартни координати. Това ще е равно на С обратна по А по х. Вектор х е равен просто на матрицата С... вектор х е просто матрицата С по вектор х с нестандартни координати, ето така. Ще обобщя, защото тук е малко повърхностно на този етап, понеже малко се расеях. Ако започнем с вектор х, представен с нестандартни координати, или х, представен с координати спрямо В, и го умножим по матрицата D. Ако започна с това ([x] с индекс В), умножавам по матрицата D, и ще получа тази точка ето тук (виж чертежа). Това ето тук долу (D[x] с индекс В) е същото като тази точка ето тук. Тази точка тук трябва да е образът на х с нестандартни координати след трансформацията на вектор х, или образ след трансформация на вектор х, зададен с координати спрямо В. Трансформацията на х, ако х е със стандартни координати, това е просто А по х. Значи това е просто А по х. Но аз искам да го представя с нестандартни координати. Сега, матрицата А по вектор х с нестандартни координати е равно на С обратна по А по х, ако приемем, че това е същото като това. Така че, ако имаме това и искаме да го представим с нестандартни координати, умножаваме го по С обратна, и тогава ще го получим изразено с нестандартни координати. И накрая казваме, че х е равно на С по х, представен с нестандартни координати. Така че можем да заместим вектор х ето тук. Важният резултат тук е, че матрицата D по вектор х с координати спрямо базиса В е равно на С обратна по А по С, по вектор х с координати спрямо базиса В. Значи матрицата D трябва да е равна на С обратна по А по С. Значи, че ако D е тарнсформационната матрица за трансформацията Т спрямо базиса В – ще го напиша ето тук – и ако С е матрицата на прехода към базиса В – ще го напиша, защото това е важният резултат – и ако А е трансформацията – ще го напиша съкратено – матрицата за трансформацията Т спрямо стандартния базис, тогава можем да кажем – това е важният извод – че нашата матрица D е равна на С обратна по А по С. Това е същественото заключение от това видео, което е много интересно. Искам да виждаш този тук. Сега видяхме, че матрицата А се отнася само за определено множество от координати. Но има различни произволни базиси, които можем да използваме, за да представим Rn, така че можем да имаме различни матрици, които да представят линейната трансформация спрямо различните координатни системи. Ако искаме да намерим тези различни матрици за различните координатни системи, можем просто да конструираме матрицата за промяна на базиса за интересуващата ни координатна система, и после да съставим новата трансформационна матрица спрямо новия базис, просто като използваме този резултат.