Матрица на промяна на базиса

Даден е някакъв базис В, който съдържа k вектора. Да кажем, че това са векторите v1, v2... vk. Нека е даден и някакъв вектор а, който е дефиниран чрез неговите координати, изразени чрез базиса В. Значи координатите, изразени чрез базиса В, са с1, с2 – общо k координати, защото имаме k базисни вектори. Или, ако те описват едно подпространство, това е k-мерно подпространство. Значи имаме k базови вектори. Това означава, че съгласно определението за координати спрямо някакъв базис, това буквално означава, че мога да представя вектор а като линейна комбинация на тези вектори, като тези координати са коефициентите. Вектор а е равен на с1 по v1, плюс с2 по v2, и така нататък, продължаваме да ги събираме, до плюс ck по vk. Друг начин да напишем това е, че... ще го запиша по следния начин. Ако имам една матрица, в която вектор-стълбовете са базисни вектори на подпространството В – ще го напиша по следния начин. Имаме някаква матрица С, която изглежда ето така, като нейните вектор-стълбове са базисни вектори на подпространството. Значи имаме вектори v1, v2... vk. Ако приемем, че всички тези вектори принадлежат на Rn, тогава всеки от тях ще има n на брой елементи, или това е матрица с размер n x k. Всеки вектор има n елементи. Това означава, че има n реда и k стълба. Да си представим тази матрица. Друг начин да запишем този израз ето тук е да кажем, че вектор а е равен на вектор с1, с2 и така нататък до вектор ck, умножено по тази матрица ето тук. Това е равно на вектор а. Това твърдение тук и този израз ето тук са напълно идентични. На какво е равно това произведение на матрица с вектор? Получаваме с1 по v1, плюс c2 по v2, плюс с3 по v3, и така нататък до плюс ck по vk, равно на вектор а. Виждали сме това много пъти по различни поводи. Но тук интересното е, че този израз е същото нещо. Тук просто използвам новия термин за неща, които сме виждали вече може би 100 пъти досега. Можем да преработим този израз. Това е С... спомни си, че С е просто матрица, чиито стълбове са базисните вектори – матрицата С е равна на това. Това са просто координатите на вектор а спрямо базиса В. Значи матрицата С по координатите на вектор а, изразени спрямо базиса В, това е равно на вектор а. Защо правя всичко това? Защото сега имаме много лесен начин за... ако ти дам това, и ако ти дам това ето тук, и те попитам колко е вектор а, ако искам да е представен със стандартни координати, или с координати спрямо стандартния базис. Това е начинът, по който записваме векторите през цялото време, нали? После просто умножаваш това по тази матрица С, чиито вектор-стълбове са базисните вектори. Обратно, ако имаш някакъв вектор а, за който знаеш, че може да се представи като линейна комбинация на В, или който принадлежи на линейната обвивка на тези базисни вектори, тогава можеш да намериш това тук, като определиш координатите на вектор а спрямо базиса В. А тази матрица ето тук, какво прави тя? Тя ни помага да променим базиса. Ако я умножим по този вектор, тръгваме от вектор, представен с координати спрямо някакъв базис, и го умножаваме по тази матрица, и ще получим вектор със стандартни координати. Затова наричаме тази матрица, променяща базиса, "матрица на прехода", което звучи много специално. Но на практика това е просто матрица, чиито вектор-стълбове са векторите на базиса. Да приложим това, за да видим дали можем да направим нещо полезно с него. Нека да имаме някакъв базис. Нека това е базисът В. И нека да имаме два вектора. Ще дефинирам тези вектори ето тук. Нека вектор v1... нека да сме в R3. Значи вектор v1 е [1;2;3]. После вектор v2 е [1;0;1]. Ще дефинирам някакъв базис В, който е множеството от векторите v1 и v2. Оставям на теб да провериш, че тези вектори не са линейна комбинация един на друг, т.е. имаме валиден базис. Те по никакъв начин не са линейно зависими. Сега, да кажем, че знам някакъв вектор, който принадлежи на линейната обвивка на тези базисни вектори. Знам единствено, че той е представен чрез координати спрямо този базис В. Значи имаме някакъв вектор а. Представен с координатите му спрямо този базис, той е равен на [7;7;–4]. Как да представим този вектор със стандартни координати? На какво ще е равен вектор а? Можем да кажем, че вектор а е равен на 7 по v1, минус 4 по v2, и това е напълно вярно. Но хайде да използваме тази матрица на прехода, която преди малко показах в това видео. Тук матрицата на прехода ще бъде просто матрица, която съдържа v1 и v2 като стълбове, значи 1, 2, 3 и после 1, 0, 1. Ако умножим тази матрица на прехода по вектора, представен с координати спрямо базиса, значи по [7;–4], тогава ще получим вектора, представен чрез стандартни координати. И на какво ще е равно това? Имаме матрица 3 х 2, умножена по матрица 2 х 1. Ще получим матрица 3 х 1, което е съвсем логично, защото сме в R3. Този вектор а ще принадлежи на R3. Така че когато го запишем със стандартни координати, трябва да имаме 3 координати ето тук. Когато го представим спрямо базиса, имаме само две координати, защото вектор а се намира в равнина, чиято линейна обвивка са ето тези два вектора. Всъщност това е добра причина да го начертая. Ще го начертая в три измерения. Да кажем, че линейната обвивка на векторите v1 и v2 изглежда ето така. Нека това тук да е нулевият вектор. Значи това тук е линейната обвивка на векторите v1 и v2. Казано по друг начин, това е подпространството, на което матрицата В е базис. Знаем, че вектор а принадлежи на това подпространство. Да кажем, че v1 изглежда ето така, а v2 изглежда... дори не ме интересуват числата, ще го направя за общия случай – да кажем, че вектор v2 изглежда ето така. Фактът, че може да бъде представен като линейна комбинация на векторите v1 и v2, означава, че вектор а също така ще е в тази равнина в R3. Всъщност 7 по v1 е равно на едно v1, още едно v1, още 3 пъти v1, 4, 5, 6 и 7. Значи 7 стъпки в тази посока и после в посока v2 –4 пъти по v2. Значи това е 1 стъпка в посоката на v2. Това е минус 1 в посоката на v2, минус 2, минус 3, минус 4. Значи идваме ето тук, 1, 2, 3, 4. Значи нашият вектор ще изглежда ето така. Ще лежи в равнината. Това е вектор а. Той лежи в равнината и изглежда ето така, когато го представим спрямо този базис, когато представим тези координати спрямо базиса В, казваме, че това е 7 пъти по този вектор v1. Правя го съвсем абстракттно. Не обръщай голямо внимание на тези числа. Искам да разбереш логиката. Казваме 7 пъти този вектор v1, и минус 4 пъти този вектор v 2. И това ни отвежда ето тук. Получаваме този вектор, който лежи в тази равнина. Така че ни трябват само две координати, за да го дефинираме в тази равнина, защото това подпространство е двумерно. Но ние работим в R3. И ако искаме общият вид на вектор а в стандартни координати, ще трябва да имаме три координати. Искам да разбереш, че векторът лежи в тази равнина. Тази равнина продължава безкрайно във всички тези посоки. Вектор а лежи в тази равнина. Той е линейна комбинация от този вектор и този вектор. Но сега да намерим как да го представим със стандартни координати. Със стандартни координати получаваме, че първият елемент ще бъде 1 по 7, плюс 1 по –4. Значи това ще бъде 3. Получаваме 2 по 7, плюс 0 по –4. Значи този компонент е 14. И имаме 3 по 7, плюс 1 по –4. 3 по 7 е 21, минус 4, това е 17. Значи този вектор е [3;14;17]. Това е вектор а. Но да кажем, че искаме да минем по обратния път. Да кажем, че имаме вектор... ще избера буква, която не съм използвал скоро – нека това да е някакъв вектор d, който е [8; –6;2]. Да кажем, че знаем, че вектор d принадлежи на линейната обвивка на нашите базисни вектори, на векторите v1 и v2, което означава, че вектор d може да бъде представен като линейна комбинация от тези вектори, или че вектор d принадлежи на това подпространство, или че може да го представим чрез координати спрямо базиса В. Спомни си, че базисът В е просто множеството от векторите v1 и v2. Това е базисът В. Знаем, че ако умножим матрицата на прехода по нашия вектор, представен с тези координати спрямо базиса В... ще запиша това, вектор d, изразен с координати спрямо базиса В – това е равно на вектор d. Знаем това. Знаем, че ако имаме координатите на този вектор, и ако ги умножим по матрицата на прехода, ще получим обикновените... вектор d, изразен чрез стандартни координати. В този случай имаме вектор d. Дадено ни е това. Знаем каква е матрицата на прехода. Ако искаме да представим вектор d в координати спрямо базиса В, ще трябва да решим това уравнение. Да го направим. Матрицата на прехода е матрицата [1;1;2;0;3;1]. Трябва да я умножим по някакви координати. Това нещо ето тук, можем да го представим като... ще използвам жълто – трябват ни две координати. Значи това ще е някакво произведение на v1 плюс някакво произведение на v2. Значи това са с1 и с2. Знаем, че трябва да имаме две координати, защото това произведение на матрица с вектор е дефинирано само когато принадлежи на R2, защото това е матрица 3 х 2. Имаме два стълба, така че трябва да имаме два елемента тук. И това ще е равно на вектор d. Имаме 8, –6, 2. Ако намерим този вектор, ще сме намерили неговия образ, или координатите на вектор d спрямо базиса В. Да решим това уравнение. За да решим уравнението, трябва да съставим разширена матрица. Това е обичайният начин за решаване на линейни уравнения. Имаме матрицата [1;1;2;0;3;1]. Разширяваме я с тази страна ето тук. Имаме 8, –6 и 2. Ще запазим първия ред непроменен. Имаме 1, 1, разширено с 8. Сега да заместим втория ред с втория ред минус 2 по първия ред. Ще получим 2 минус, 2 по 1... всъщност ще го направя по друг начин. Ще заместя втория ред с 2 по първия ред, минус втория ред. Значи 2 по 1, минус 2, това е 0. 2 по 1, минус 0, това е 2. 2 по 8 е 16, минус 6 е 10. Сега ще заместя третия ред с 3 по първия ред минус третия ред. Значи 3 по 1, минус 3, това е 0. 3 по 1, минус 1, това е 2. После 3 по 8 е 24, минус 2 е равно на 22. Изглежда някъде съм допуснал грешка, защото тези двете не ми дават решение. Ще проверя дали не съм сгрешил, да се уверя, че няма някоя странна грешка. Значи втория ред замествам с 2 по първия ред, минус втория ред. Това е 2 по 1, минус 2, равно е на 0. 2 по 1, минус 0, това е 2. 2 по 8, минус –6... ето я грешката – това е равно на 22. Тук бях допуснал грешка. Значи тези две неща са еквивалентни. Ще го правя стъпка по стъпка. Ще заместя третия ред с третия ред минус втория ред, за да го отстраня. Запазвам това 1, 1, 8, 0, 2, 22. После третия ред ще заместя с третия ред минус втория ред. Получавам 0, 0, 0. Всичко се нулира. Сега ще разделя втория ред на 2. Получавам 1, 1, 8. После това тук става 0, 1 и 11. В третия ред си остават нулите. Ще запазя средния ред непроменен. Това е 0, 1 и 11. Сега ще заместя първия ред с първия ред минус втория ред. 1 минус 0 е 1. 1 минус 1 е 0. 8 минус 11 е –3. Запазвам последния ред. Така преобразувах лявата страна в ешелонна форма. И това тук на практика ни дава решението. Знаем, че с1... Мога да го запиша по следния начин. Мога да го запиша като [1;0;0;1;0;0] по [с1;с2] е равно на [–3;11;0]. Друг начин да запишем това е, че това 1 по с1, плюс 0 по с2, или с1 е равно на –3. После имаме 0 по с1, плюс 1 по с2, и така с2 е равно на 11. Значи решението на уравнението е [–3;11]. Друг начин да кажем това е, че ако искаме да запишем нашия вектор d с координати спрямо нашия базис В, това ще са координатите [–3; 11], което означава, че – Искам да запиша вектор d с координати спрямо нашия базис В, и той ще е равен на [–3; 11]. Което означава... Ще го запиша по следния начин – означава, че вектор d е равен на –3 по вектор v1, плюс 11 по вектор V2. Оставям на теб да го провериш. Но по този начин, с помощта на тази матрица на прехода, можахме да преобразуваме и в двете посоки. Ако векторът е представен така, тогава много лесно можеш да умножиш и да получиш вектор d, изразен със стандартни координати. Ако векторът е зададен със стандартни координати, или с координати спрямо стандартния базис, тогава е много лесно, може би е малко по-трудоемко, но просто намираш координатите спрямо базиса В.