Собствени стойности на матрица 3 x 3

Намерихме собствените стойности на една матрица 2 х 2, затова да видим дали можем да намерим собствените стойности за матрица 3 х 3. Мисля, че ще стане ясно, че това е далеч по-трудно, просто защото изчисленията стават малко по-претрупани. Значи ламбда е собствена стойност на матрицата А. По определение, тогава и само тогава, когато – ще го запиша ето така – тогава и само тогава, когато произведението на матрицата А по някакъв ненулев вектор v е равно на ламбда по този ненулев вектор v. Ще запиша това за някакъв ненулев вектор v. Мога да го нарека собствен вектор v, но просто ще кажа някакъв ненулев вектор v. Когато е изпълнено това условие, че когато и само тогава, когато – ще го запиша по следния начин. Това е вярно тогава и само тогава, когато – това е преговор – бих искал да го преговорим, защото когато го видиш след 10 години, не искам да си спомняш формулата. Искам да си спомниш логиката, по която сме я извели. Това е вярно тогава и само тогава, когато – ще извадим А по v от двете страни – нулевият вектор е равен на ламбда – вместо да пиша ламбда по v, ще запиша ламбда по единичната матрица по v. Това е едно и също. Единичната матрица по вектор v е просто вектор v. Минус А по v. Просто изваждам А по v от двете страни и представям вектор v като единичната матрица по вектор v. Това е вярно тогава и само тогава, когато нулевият вектор е равен на ламбда по единичната матрица минус А по v. Просто изнасям пред скоби вектор v от дясната страна на тези двете, и ми остава само матрицата по v. Това е вярно само когато – ще го препиша ето тук, това уравнение е във вида, в който да можеш да го разпознаеш. Ламбда по единичната матрица минус матрицата А. Това е просто някаква матрица. Произведението на тази матрица по вектор v е равно на нула като вектор v е някакъв ненулев вектор. Това означава, че нулевото пространство на тази матрица трябва да е нетривиално. Друг начин да си представим това е, че нейните вектор-стълбове не са линейно независими. Друг начин да го разглеждаме е, че матрицата не е обратима, или че детерминантата ѝ е равна на нула. Значи ламбда е собствената стойност на матрицата А, тогава и само тогава, когато всяка от тези стъпки е вярна. Това е вярно тогава и само тогава, когато... за някакъв ненулев вектор, тогава и само тогава, когато детерминантата на матрицата ламбда по единичната матрица минус А е равно на нула. Това беше нашият извод. Мисля, че това беше преди два или три урока. Но сега да приложим това към матрицата А с размер 3 х 3. Ще използваме единичната матрица 3 х 3. Значи ще разгледаме – ламбда по единичната матрица ще бъде просто... по единичната матрица 3 х 3, което ще бъде... ще запиша това. Това е ламбда по единичната матрица в R3. Значи това ще бъде ламбда, ламбда, ламбда. Всичко друго ще бъдат нули. Единичната матрица има единици тук по диагонала, така че само членовете по диагонала стават различни от нула, когато умножим единичната матрица по ламбда. Всичко друго са нули. Значи това е единичната матрица по ламбда. Значи ламбда по единичната матрица минус А ще бъде равно на – това всъщност е много лесно. Всичко по диагонала ще бъда ламбда минус – нека просто да го сметнем. Ламбда минус 1... ще направя диагоналите тук. Ламбда минус –1 е ламбда плюс 1. След това 0 минус 2 – ще го направя с друг цвят. 0 минус 2 е –2. 0 минус 2 е –2. 0 минус 2 е –2. Да сметнем това. 0 минус 2 е –2. 0 плюс или минус –1 е 0 плюс 1, което е 1. И сега да сметнем това тук. 0 минус –1, това е 1. Само да довърша диагонала. После имаме ламбда минус 2. После имаме ламбда минус 2. Значи ламбда е собствена стойност на матрицата А тогава и само тогава, когато детерминантата на тази матрица ето тук е равна на нула. Да пресметнем детерминантата. Най-лесният начин, поне според мен, да се направи това, е да използваме правилото на Сарус. Ще използваме правилото на Сарус, за да намерим тази детерминанта. Просто ще препиша първите две колони ето тук. Всъщност мога да ги копирам и да ги поставя. Просто копирам тези две колони. После ги поставям, поставям ги ето тук. Това е прекалено близо до това тук, но мисля, че разбираш идеята ми. Правилото на Сарус – събираме това произведение плюс това произведение, плюс това произведение и после изваждаме това произведение по това произведение, по това произведение. Ще го направим сега. Значи това произведение е (ламбда плюс 1) по (ламбда минус 2), по (ламбда минус 2). Това е ето това тук. После имаме плюс, да видим, минус 2 по минус 2. Това е плюс 4. После имаме –2 по –2, дава плюс 4, което умножаваме по 1. Това отново е плюс 4. После изваждаме този стълб по този стълб. Минус този стълб минус този стълб и после... не трябва да казвам стълб, защото това реално е по диагонала. Значи казваме –2 по –2. Ще запиша това. –2 по –2 дава 4. По ламбда минус 2. Това беше този диагонал. После имаме минус – колко ще стане това? Това ще бъде –1 по ламбда плюс 1. Значи минус ламбда плюс 1. После слизаме надолу по този диагонал. –2 по –2 е 4. Това става 4 по ламбда минус 2 и изваждаме. Значи 4 по ламбда минус 2. Да видим можем ли да опростим това. Това тук в синьо – да видим, тези тук дават 8 и после това става... това става ламбда плюс 1. По... ако умножим тези двете, става ламбда на квадрат минус 4 по ламбда. Минус 2 по ламбда и после минус 2 по ламбда. Значи минус 4 по ламбда. Плюс 4. После имаме това плюс 8 ето тук. После имаме – да видим. Имаме минус 4 по ламбда. Само ще умножа всичко. Значи имаме минус 4 по ламбда плюс 8 минус ламбда, минус 1, минус 4 по ламбда плюс 8. После ще опростя малко. Това ето тук – да видим. Константните членове – имам 8, –1, после 8 и още веднъж 8. Това е 24 минус 1. Получаваме 23. После членовете с ламбда – имаме –4 по ламбда. Имаме –1 по ламбда и –4 по ламбда. Това е –8, –1. Получаваме –9 по ламбда. Плюс 23. И сега можем да опростим това. Първо мога да изнеса ламбда и да умножа по този целия израз тук. Това ще стане ламбда на трета степен, минус 4 по ламбда на квадрат, плюс 4 по ламбда. После мога да взема това и да умножа по това. Значи плюс ламбда на квадрат, минус 4 по ламбда плюс 4. Сега, разбира се, имаме тези членове ето тук. Трябва да опростим отново. Колко са всички константни членове? Имаме 23 и имаме плюс 4. Това дава 27. Плюс 27. После, колко са всички членове ламбда? Имаме минус 9 по ламбда и после имаме – да видим. Имаме –9 по ламбда, после плюс 4 по ламбда, после минус 4 по ламбда. Тези се унищожават. Остава само –9 по ламбда. Сега да видим кои са членовете, съдържащи ламбда на квадрат. Имаме плюс ламбда на квадрат и минус 4 по ламбда на квадрат. Ако ги съберем, получаваме –3 по ламбда на квадрат. Накрая имаме само един член ламбда на трета степен, ето тук. Значи това е характеристичният полином на нашата матрица. Това е характеристичният полином и той представлява детерминантата за всяка стойност на ламбда – детерминантата на тази матрица за всяка стойност на ламбда. Казахме, че това трябва да е равно на 0 тогава и само тогава, когато ламбда е действителна собствена стойност. Значи трябва да го сложим равно на 0. За наше нещастие, или за наш късмет, тук няма реално тривиално... няма втора степен. Всъщност има, но е доста сложно. Това обикновено е загуба на време. Ще трябва да направим някои майсторски разлагания на полином от втора степен. Взех тази задача от един учебник, и мисля, че ще е честно да кажем, че ако аз някога срещна тази задача в часовете си по линейна алгебра или в час по алгебра по принцип – това даже не е нужно да е в контекста на собствените стойности – вероятно решенията ще са цели положителни числа. Ако решенията ти са цели положителни числа, тогава квадратните корени ще бъдат множители в този член ето тук. Особено ако тук имаш коефициент 1. Значи потенциалните корени – в този случай какви са множителите на 27? Това са 1, 3, 9 и 27. Всичко това са потенциални корени. Можем просто да налучкаме кой тях е подходящ. 1 на трета степен е равно на 1 минус 3. Ще проверя 1. Ако заместя с 1, това става 1 минус 3, минус 9, плюс 27. Това не е равно на 0. Това е – 2 – 9, което е –11. Плюс 16. Това не дава 0. Значи 1 не е корен. Ако заместим с 3, получаваме 3^3, което е 27, минус 3 по 3^2, това е –3 по 9, което е –27. Минус 9 по 3, което е –27. Плюс 27. Това е равно на 0. За наш късмет, вторият ни опит ни позволи да намерим едно решение на това уравнение. Значи ако 3 е корен, това означава, че х – 3 е един от множителите тук. Това означава, че това ще стане (х – 3) по нещо друго. . По-точно е да се каже ламбда минус 3. Да видим кой е другият корен. Нека ламбда е равна на –3 и да разделим този член ето тук, на ламбда на трета степен минус 3 по ламбда на квадрат, минус 9 по ламбда, плюс 27, и какво получаваме? Ламбда на трета степен делено на ламбда дава ламбда на втора степен. Ламбда на квадрат по това. Ламбда на квадрат по ламбда е ламбда на трета степен. Ламбда на квадрат по –3 е –3 по ламбда на квадрат. Изваждаме и получаваме 0. Получаваме 0. После можем да поставим тук – можем да го направим и по двата начина. Можем да сложим тук –9. Можем да свалим всичко на практика. Сега имаме –9 по ламбда плюс 27. Можеш да си представиш, че изваждаме това от този целият израз тук. И ни остава само този член. Ламбда минус 3 се съдържа в това. Ламбда равно на –3 се съдържа в 9 по ламбда. Съдържа се в 9 по ламбда –9 пъти. Просто ще напиша тук –9. Минус 9 по (ламбда минус 3) е минус 9 по ламбда плюс 27. Това мина много гладко. И получаваме 0. Нашият характеристичен полином се опрости до ламбда минус 3, по ламбда на квадрат минус 9. Разбира се, трябва да сложим това равно на 0, ако ламбда е действително собствена стойност на матрицата. Това е много лесно за разлагане. Това става ламбда минус 3 по... ламбда на квадрат минус 9 е просто ламбда плюс 3 по ламбда минус 3. Всичко това е равно на 0. Всички тези корени – вече знаем единият от тях. Знаем, че 3 е корен, и всъщност ето това също ни показва, че 3 е корен. Така че възможните собствени стойности на матрицата А с размер 3 х 3, които имаме ето тук – тази матрица А ето тук – възможните ѝ собствени стойности са: ламбда равно на 3 или ламбда равно на –3. Това са две стойности, които биха направили нашия характеристичен полином или детерминантата на тази матрица да са 0, като това условие трябва да е изпълнено, за да може ламбда да бъде собствена стойност за някакъв ненулев вектор v. В следващото видео всъщност ще намерим собствените вектори, след като вече знаем собствените стойности.