Пример за намиране на собствени стойности на матрица с размер 2x2

В последното видео показахме, че за всяка стойност на ламбда, която удовлетворява това уравнение за някакви ненулеви вектори v, детерминантата на матрицата ламбда по единичната матрица минус матрицата А трябва да е равна на нула. Можем да кажем също, че такава стойност на ламбда е собствена стойност на матрицата А тогава и само тогава, когато... ще го запиша като iff – детерминантата на матрицата ламбда по единичната матрица минус А е равна на 0 Да видим можем ли на практика да използваме това в някакъв конкретен начин за намиране на собствените стойности. Нека да вземем една матрица 2 х 2, нека да сме в R2. Нека матрицата А е равна на [1;2;4;3]. Искам да намерим собствените стойности на матрицата А. Ако ламбда е някаква собствена стойност на матрицата А, тогава това означава, че детерминантата на матрицата ламбда по единичната матрица – това ще бъде единичната матрица на R2 – значи ламбда по [1;0;0;1] минус А, т.е минус [1;2;4;3], детерминантата на тази матрица ще е 0. На какво е равно това? Това ето тук е детерминантата. Ламбда по това е просто ламбда по всички тези членове. Значи ламбда по 1 е ламбда, ламбда по 0 е 0, ламбда по нула е 0, ламбда по 1 е ламбда. Сега трябва да извадим матрицата А. Вадим [1;2;4;3] и това трябва да е равно на 0. После тази матрица, или тази разлика на матрици, тук просто ще запиша детерминантата – това е детерминантата на тази матрица. Първият член ще бъде ламбда минус 1. Вторият член е 0 минус 2, значи е –2. Третият член е 0 минус 4, значи е –4. Четвъртият член е ламбда минус 3, ето така. Това е един вид бърз начин да видим какво се случва. Членовете по диагонала – те всички станаха отрицателни, нали? Всички те станаха отрицателни. После членовете по диагонала – отпред имаме ламбда. Това е на практика това, което се получи от този израз ето тук. Колко е детерминантата на тази матрица 2 х 2? Детерминантата на тази матрица е просто ето това тук по това тук, минус това по това. Значи това е ламбда минус 1, по ламбда минус 3, минус тези два члена, умножени един по друг. Значи –2 по –4, това е +8, и става минус 8. Това е детерминантата на тази матрица тук или на тази матрица тук, която е опростен вид на тази матрица. И това трябва да е равно на 0. Причината защо това трябва да е равно на нула е, че както видяхме по-рано, тази матрица има нетривиално нулево пространство. Понеже тя има нетривиално нулево пространство, тя не може да е обратима и нейната детерминанта трябва да е равна на 0. Сега получихме едно интересно полиномно уравнение. Можем да извършим умножението. Какво ще получим? Ще извърша умножението. Получаваме ламбда на квадрат, минус 3 по ламбда, минус ламбда, плюс 3, минус 8, равно на 0. Или ламбда на квадрат, минус 4 по ламбда, минус 5, равно на 0. И ако искаш да знаеш точната терминология, този израз тук се нарича характеристичен полином. Това е терминът – характеристичен полином. За да намерим собствените стойности на матрицата А, трябва да решим това уравнение. Това е обикновено квадратно уравнение. Можем да го разложим. Да видим – две числа, произведението им е –5, сборът им е –4. Това са –5 и + 1, така че става ламбда минус 5, по ламбда плюс 1, равно на 0, нали? –5 по 1 е –5, после –5 ламбда плюс 1 по ламбда е равно на – 4 по ламбда. Значи тези две решения на нашето характеристично уравнение, нашият характеристичен полином, приравнен на 0, са ламбда равно на 5 и ламбда равно на –1. Ето така с помощта на това, което доказахме в предишното видео, успяхме да намерим, че двете собствени стойности на матрицата А са ламбда равно на 5 и ламбда равно на –1. Но това решава само част от задачата, нали? Знаем, че търсим собствените стойности и собствените вектори, нали? Знаем, че това равенство може да бъде изпълнено, когато ламбда е равно на 5 или на –1. Знаем собствените стойности, но все още трябва да определим собствените вектори. Това ще направим в следващото видео.