Доказателство на формулата за определяне на собствените стойности

Дадена е една трансформация Т, която изобразява от Rn в Rn, която може да се представи с матрицата А. Трансформацията на вектор х е равна на матрицата А по х. В последното видео видяхме, че представлява интерес да намерим векторите, които се мащабират от тази трансформация. За нас представляват интерес векторите, които се получават при трансформацията на някакъв специален вектор v. Това е равно на А по v. Той се мащабира с някакъв коефициент, т.е. ламбда по вектор v. Тези са интересни, защото те са подходящи за базисни вектори. Знаеш, че трансформационната матрица в алтернативния базис, в който това е един от базисните вектори, може би ще е по-лесно да се пресмята, това може да е добра координатна система. Но по принцип тези вектори са интересни. Наричаме векторите v, които удовлетворяват това условие, собствени вектори. А мащабиращите им коефициенти наричаме собствени стойности, които са свързани с тази трансформация и с този собствен вектор. Надявам се, че знаеш от предходното видео, че имаме известна представа защо тези вектори са полезни. В това видео ще опитаме да определим какво представляват някои от тези собствени вектори. Въз основа на това, което знаем досега, ако ти ми дадеш някакъв собствен вектор, аз мога да потвърдя, че той е такъв, или пък за някаква собствена стойност мога да потвърдя, че тя е такава. Но нямаме систематичен начин за решаване на тези две задачи. Да видим можем ли да измислим нещо. По принцип търсим решения на уравнението А по v равно на ламбда по v. Това е равно на ламбда по вектор v. Може би веднага ти хрумва едно решение, което е когато вектор v е нулевият вектор. Това определено е решение, въпреки че обикновено нулевият вектор не се разглежда като собствен вектор, защото той не е удобен базисен вектор. Той не допринася с нищо към базиса. Той не допринася частта от векторите, която може да се се представи, когато използваме базисен вектор. Също така не е ясно каква е собствената стойност, която е свързана с нулевия вектор. Защото, ако вектор v е равен на 0, тогава можем да използваме всяка стойност като собствена. Обикновено, когато търсим собствените вектори, започваме с допускането, че търсим ненулеви вектори. Значи търсим вектори, които не са равни на нулевия вектор. Като знаем това, да видим дали можем да си поиграем малко с това уравнение и така да намерим някакви собствени стойности. Ако извадим А по v от двете страни, ще получим, че нулевият вектор е равен на ламбда по v, минус А по v. Можем да представим вектор v... вектор v e равен на единичната матрица по v, нали? Вектор v принадлежи на Rn. Единичната матрица е n x n. Просто умножаваме и тук отново ще получим вектор v. Значи ако представя вектор v по този начин, поне тази част от израза – ще разменя двете страни – тогава получаваме, че ламбда по – тук вместо вектор v ще запиша единичната матрица, единичната матрица n х n по v, минус А по v, което е равно на нулевия вектор. Сега имам една матрица по вектор v минус друга матрица по вектор v. Произведенията на матрици с вектори притежават дистрибутивното свойство. Значи това е еквивалентно на: отваряме скоба – матрицата ламбда по единичната матрица минус А, затваряме скобата, по вектор v. И това ще е равно на нулевия вектор, нали? Това тук в скобите е просто някаква матрица. Причината да направя това заместване е, че сега можем да запишем това като произведение на матрица с вектор, а не просто като произведение на вектор със скалар. По този начин мога да изнеса извън скоби вектор v, и просто да препиша цялото уравнение като някакво произведение на матрица с вектор, което е равно на 0. За да мога – ако приемем, че това е случаят, и ако приемем – спомни си, че приемаме, че вектор v не е равен на нула. Какво означава това? Това означава, че вектор v принадлежи на нулевото пространство на тази матрица ето тук. Ще го запиша. Вектор v принадлежи на нулевото пространство на ламбда по I с индекс n минус А. Знам, че това може да изглежда малко объркващо в момента, но само си представи, че това е някаква матрица В. Това може да стане по-просто. Това тук е само някаква матрица, нали? Това е матрицата В. Ще направя това заместване. Тогава това уравнение става B по v равно на 0. Ако искаме да разгледаме нулевото пространство на това, нулевото пространство на матрицата В съдържа всички вектори х, които принадлежат на Rn, такива, че матрицата В по вектор х e равно на 0. Вектор v определено е един от тези вектори, нали? Защото В по v е равно на 0. Допускаме, че В може да е решение на това уравнение, което ни води до извода, че В трябва да е решение на уравнението. И че вектор v не е 0. Значи вектор v принадлежи на нулевото пространство, като той е нетривиален член на нулевото пространство. (т.е. поне един от компонентите му не е нула) Вече казахме, че нулевият вектор винаги ще принадлежи на нулевото пространство, така че той прави това равенство вярно. Допускаме, че вектор v е ненулев. Нас ни интересуват само ненулевите собствени вектори. Това означава, че нулевото пространство на този вектор трябва да е нетривиално. Това означава, че нулевото пространство на матрицата (ламбда по In, минус А) е нетривиално. Нулевият вектор не е единственият му член. Може би си спомняш от преди, че единственият случай – ще го запиша за общия случай. Ако имаме някаква матрица – не знам, вече използвах А и В. Нека това е матрицата D. Вектор-стълбовете на матрицата D са линейно независими тогава и само тогава, когато нулевото пространство на матрицата D съдържа само нулевия вектор. Нали? Ако имаме някаква матрица, чието нулево пространство съдържа не само нулевия вектор, тогава тя има линейно зависими вектор-стълбове. Записах това само за да ти покажа, че това, което знаем, и фактът, че тази матрица няма тривиално нулево пространство, означава, че тук имаме линейно зависими вектор-стълбове. Значи ламбда по In минус А... изглежда сложно, но всъщност това е просто една матрица, която трябва да има линейно зависими стълбове. Друг начин да формулираме това е, че ако има линейно зависими стълбове, матрицата е необратима, което означава също така, че детерминантата трябва да е равна на 0. Всички тези твърдения са верни. Ако детерминантата е равна на 0, тогава матрицата няма да е обратима. Ще имаме линейно зависими вектор-стълбове. Ако детерминантата е равна на 0, това означава, че имаме нетривиални членове на нулевото пространство. Ако детерминантата е равна на 0, това означава също така, че има някакви коефициенти ламбда, за които това е вярно за ненулевите вектори v. Следователно, ако има някакви решения, ако съществува някакъв ненулев вектор v, който удовлетворява това уравнение, тогава тази матрица тук трябва да има детерминанта 0. Важи и в двете посоки. Ако тази матрица има детерминанта, равна на 0, тогава трябва да има... или ако има някакви коефициенти ламбда, които правят детерминантата на матрицата 0, тогава тези ламбда ще удовлетворяват това уравнение. Можем да го разглеждаме и по обратния начин. Ако има някакви коефициенти ламбда, които удовлетворяват това, тогава тези коефициенти ламбда ще направят детерминантата на тази матрица да е нула. Ще го запиша. Тогава и само тогава, когато... А по v ще е равно на ламбда по v за v различно от нула тогава и само тогава, когато детерминантата на матрицата ламбда по In минус А е равна на 0 вектор. Не, не е на нулевия вектор. Извинявам се, просто равна на нула. Детерминантата е просто един мащабиращ коефициент. Това е големият ни извод. Знам, че сега ще попиташ: "Сал, това с какво е полезно?" Виждаш, направихме всички тези преобразувания. Говорихме за нулеви пространства. Големият ни извод е, че за да бъде изпълнено това равенство за някакви ненулеви вектори v, тогава ламбда трябва да има някаква стойност, такава че ако изчислим детерминантата на матрицата ламбда по единичната матрица минус А, детерминантата трябва да е равно на 0. Причината това да е полезно за нас, е, че можем да съставим това уравнение за нашите матрици и после да намерим коефициентите ламбда, което ще направим в следващото видео.