Собственият базис е подходящ за координатна система

Доста говорих за това, че собствените вектори представляват добри базиси или добри базисни вектори, но нека се задълбочим още малко в темата. Нека имаме някаква трансформация. Нека това е трансформация от Rn в Rn, която може да се представи с матрицата А. Трансформацията на вектор х е равна на произведението на матрицата А с размер n x n, по вектор х. Нека имаме n на брой линейно независими собствени вектори в матрицата А. Това не винаги е така, но може да се срещне често Определено е възможно. Да приемем, че матрицата А има n линейно независими собствени вектори. Ще ги означа като v1, v2... и така натакък до vn. n линейно независими вектори в Rn определено могат да бъдат базис на Rn. Виждали сме това много пъти. В това видео искам да ти покажа, че това множество вектори определено е добър базис за тази трансформация. Да изследваме това. Трансформацията на всеки от тези вектори – ще го запиша ето тук. Трансформацията на вектор v1 е равна на матрицата А по вектор v1, и понеже вектор v1 е собствен вектор на А, това ще е равно на някаква собствена стойност ламбда 1 по v1. Можем да напишем това за всички тези вектори. Трансформацията на вектор v2 е равна на А по v2, което е равно на някаква собствена стойност ламбда 2 по v2. Ще пропусна всички следващи и ще отида направо на n-ия вектор. Имаме n такива собствени вектори. Може да са и много повече. Просто приемаме, че за матрицата А има най-малко n линейно независими собствени вектори. По принцип мащабираните версии на тези собствени вектори също са собствени вектори. Да видим, трансформацията на вектор vn ще бъде равна на матрицата А по вектор vn. Понеже като всички тези това е собствен вектор, А по vn е равно на ламбда n, някаква собствена стойност по този вектор vn. На какво още е равно това? Това е равно на – вероятно това ще бъде невероятно очевидно за теб, но това е същото като ламбда 1 по vn плюс 0 по v2, плюс... и така нататък, до 0 по vn. Това тук ще бъде 0 по v1, плюс ламбда 2 по v2, плюс... и така нататък до 0 по всички останали вектори vn. После този вектор тук, това ще бъде равно на 0 по v1, плюс 0 по v2, плюс 0 по всички тези базови вектори, тези собствени вектори, накрая ламбда n по вектор vn. Това е почти очеизвадно, нали? Само преработих това като сбор от куп нулеви вектори. Причината да правя това е, понеже само след малко ще използваме това като базис и ще намираме координати спрямо този базис, така че координатите на този вектор ще бъдат ламбда 1, 0, 0, понеже това са коефициентите на нашите базови вектори. Да го направим. Да кажем, че дефинираме това като някакъв базис. Значи базисът В е множеството от – всъщност даже не е нужно да го пиша по този начин. Нека базисът В... имаме някакъв базис В, който е равен на това. Сега искам да покажа, че когато сменя базиса – виждали сме вече това – преминаваме на станадратни координати или координати спрямо стандартния базис, и когато ми дадеш някакъв вектор в Rn, аз ще го умножа по матрицата А и ще получим неговата трансформация. Тя също ще бъде в Rn. Значи можем да направим смяна на базиса. При смяна на базиса, ако искаш да дойдеш насам, умножаваме по С обратна, която е – спомни си, матрицата на прехода С, ако искаш да дойдеш в тази посока, трябва да умножиш по матрицата на прехода С. Матрицата на прехода е просто матрицата, чиито стълбове са всички тези вектори. Тя се конструира много лесно. Но ако променим базиса от х на някакъв нов базис, тогава умножаваме по обратната матрица на тази. Виждали сме го много пъти. Ако всички тези вектори са ортонормални, тогава тази матрица е равна на матрицата А транспонирана. Можем да приемем и това. Значи това е равно на вектор х в новия ни базис. И ако искаме да намерим някаква трансформация, ако искаме да намерим трансформационната матрица за Т спрямо новия базис, това ще бъде някаква матрица D. Ако умножим матрицата D по вектор х, ще получим ето това, ще получим представянето на този вектор спрямо базиса В. Трансформацията на вектор х, представена спрямо базиса В. Ако искаме да отидем и да се върнем обратно между този вектор и този вектор, ако искаме да отидем в тази посока, можем да умножим това по матрицата С, и просто ще получим трансформацията на вектор х. Ако искаме да отидем в тази посока, можем да умножим по обратната матрица на прехода. Виждали сме го вече много пъти. Но това, което твърдя, или това, което един вид подсказвам, е, че ако имаме базис, който е дефиниран чрез собствените вектори на матрицата А, че това ще бъде една много добра матрица, че това може да е координатна система, с която искаме да работим, особено ако ще използваме тази матрица доста често. Ако прилагаме тази трансформация върху много обекти, тогава ще го правим отново и отново, може върху едно и също множество, тогава може би си заслужава допълнителното усилие да конвертираме и просто да използваме това като координатна система. Да видим дали това ще бъде наистина подходяща, лесна за изчисления и всъщност една диагонална матрица. Знаем, че трансформацията – каква е трансформацията на – ще го запиша по няколко различни начина. Ще се преместя малко по-надолу. Ако искам да запиша трансформацията на вектор v1 с координати спрямо базиса В, как ще изглежда той? Той ще бъде равен на... това са базисните вектори, нали? Това е коефициентът на базисните вектори. Ще бъде равно на ламбда 1, а после ще имаме куп нули. Това е ламбда 1 по v1, плюс 0 по v2, плюс 0 по v3... и така нататък до 0 по vn. Ето на това ще е равно. Но също така ще е равно на матрицата D, която можем да запишем ето така. Матрицата D е също трансформация от Rn в Rn, просто в различни координатни системи. Значи матрицата D ще е равна просто на куп вектор-стълбове, d1, d2 и така нататък до dn, по... това е същото като матрицата D по представянето на вектор v1 спрямо базиса В. Но на какво е равно представянето на вектор v1 спрямо базиса В? Вектор v1 е просто 1 по v1, плюс 0 по v2, плюс 0 по v 3, и така нататък до 0 по vn. v1 е базисен вектор. Той е просто 1 по себе си плюс 0 по всичко друго. Значи това е нашето представяне в координатната система В. На какво ще е равно това? Виждали сме вече това и преди. Това е един вид преговор. Може би дори те отегчавам. Това е равно просто на 1 по d1, плюс 0 по d2, плюс 0 по всички останали вектор-стълбове. Значи е равно просто на d1. Ето така получихме първия стълб на матрицата D. Можем просто да продължим по същия начин. Ще го направим много пъти. Трансформацията на вектор v2 в новата ни координатна система спрямо новия базис ще е равна на... знаем каква е трансформацията на вектор v2. Това е 0 по v1 плюс ламбда 2 по v2, после плюс 0 по всичко останало. Това е равно на D: [d1; d2;... dn], по представянето на вектор v2 спрямо базиса В. Вектор v2 е един от базисните вектори. Той е 0 по v1, плюс 1 по v2, плюс 0 по v3, и така нататък, всичко друго са нули. На какво ще е равно това? Това е 0 по d1 плюс 1 по d2 и 0 по всичко останало, значи е равен на d2. Мисля, че разбираш общият принцип. Ще го направя още веднъж, само за да можеш наистина да го разбереш добре. Трансформацията на n-ия базисен вектор, който също е и собствен вектор на оригиналната матрица А или на нашата трансформация в стандартни координати, какъв ще бъде той в координати спрямо базиса В? Написах го ето тук. Той ще съдържа куп нули. Той е нула по всички тези, плюс ламбда n по vn. Това ще бъде тази матрица, [d1; d2; ... dn], по представянето на n-ия базисен вектор с В координати, който е 0 по v1, плюс 0 по v2, плюс 0 по всички останали, с изключение на последния – 1 по vn. И това ще бъде равно на 0 по d1 плюс 0 по d2, плюс 0 по всички тези вектори, чак до 1 по dn. Значи това ще е равно на dn. Ето така видяхме на какво е равна трансформационната матрица спрямо новия базис, където този базис е дефиниран или изграден от n линейно независими собствени вектори на оригиналната матрица А. Как изглежда матрицата D? Матрицата D представлява: това е първият ѝ стълб. Ние го намерихме. Ламбда 1 и после куп нули. Вторият стълб е ето това – d2 е равен на това – 0, ламбда 2 и после куп нули. Това е общият случай. n-ият вектор-стълб ще съдържа нули навсякъде, освен по диагонала. Там ще има ламбда n. Това ще бъде собствената стойност на n-ия собствен вектор. Значи диагоналът ще изглежда... ще съдържа ламбда 3 и така нататък до ламбда n. n-ият стълб съдържа тук ламбда n и нули навсякъде другаде. Значи матрицата D, когато избрахме – това е един хубав резултат. Ако матрицата А съдържа n линейно независими собствени вектори, което не винаги е задължително така, но ние можахме да установим, че собствените вектори... можем да вземем множество от n от тези вектори, които са линейно независими, които могат да бъдат базис за Rn. n линейно независими вектори в Rn са базис за Rn. Но когато използваме този базис, когато използваме линейно независимите собствени вектори на матрицата А като базис, наричаме това собствен базис. Трансформационната матрица спрямо този собствен базис представлява една много хубава матрица. С нея изчисленията са изключително лесни. Много лесно е да бъде обърната. Супер лесно се намира нейната детерминанта. Виждали сме го много пъти. Тя има куп чудесни качества. Това е един чудесен базис за работа. И това е големият резултат. В цялата линейна алгебра всички тези неща, които правихме с пространства и вектори, като принципно векторите са просто абстрактно представяне на нещата от реалния живот. Можеш да представиш с вектор доходността на дадени акции или времето в определена част на страната, и можеш да създаваш тези пространства въз основа на броя на измеренията и така нататък. После имаш трансформации. Понякога, например, когато учихме за Марковските вериги, там трансформациите са на практика това, което е вероятността след някакъв период от време някакво състояние да се превърне в друго състояние, и тогава можем да използваш матрица много, много, много пъти, за да видиш какво е стабилното състояние на много обекти. Знам, че не ти обяснявам особено добре всичко това, но искам да ти кажа, че всичко в линейната алгебра е просто един много общ начин за решаване на огромен брой задачи. Полезното в това е, че можеш да имаш трансформационни матрици, които да дефинират тези функции в някакви бази от данни. Това, което научихме сега, е, че когато разглеждаш собствените вектори и собствените стойности, можеш да променяш базисите така, че да можеш да решиш дадената задача по най-лесния начин. Знам, че в момента това изглежда супер абстрактно, но сега имаме инструментите и до края на живота си трябва да откриеш как да прилагаш тези инструменти към конкретни проблеми във вероятностите и статистиката, финансите или моделирането на климатичните системи, или кой знае още къде.