Графично представяне на проекция в равнина

Това е още едно видео, в което сравняваме старото и новото определение за проекция. Старото определение за проекция на вектор х върху права l е вектор върху правата l, който принадлежи на правата l, и е такъв, че разликата вектор х минус този вектор, т.е. минус проекцията на вектор х върху l, е вектор, ортогонален на l. За да го онагледя, ако имаме една права l ето така – това е нашата права l. После имаме някакъв вектор х, който проектираме върху l. Това е вектор х. Проекцията на вектор х върху правата L е ето този вектор, това е някакъв вектор, който принадлежи на правата l. Той е такъв, че разликата между вектор х и този вектор е ортогонална на правата l. Значи това е някакъв вектор, който принадлежи на l. Това беше старата дефиниция, когато разглеждахме проекция на вектор върху права. Проекцията е някакъв вектор от правата l. Може би ето това тук. И ако намерим разликата между този вектор и този, тази разлика е вектор, който е ортогонален на всичко от правата l. Ето така. Този вектор ето тук е разликата. Това е вектор х минус проекцията на х върху l. После, разбира се, този вектор ето тук. Това е векторът, който дефинираме. Това е проекцията на вектор х върху правата l. По какъв различен начин можем да запишем това определение? Можем да запишем съвсем същото определение. Можем да кажем, че е вектор, такъв че... можем да кажем – ще го запиша с цикламено. Това е вектор v от правата l, такъв че вектор v – ще го запиша ето така – такъв, че вектор х минус вектор v, нали? Вектор х минус проекцията върху правата l е ортогонален на w, е равен на вектор w, който е ортогонален на всичко от правата l. Да е ортогонален на правата l буквално означава, че е ортогонален на всеки вектор от правата l. Просто го формулирах малко по-различно, вместо да го оставя като проекцията на вектор х върху правата l. Казах, че проекцията е някакъв вектор v от правата l, такъв, че вектор х минус вектор v е равно на някакъв друг вектор w, който е ортогонален на всички вектори от правата l. Можем да преработим това твърдение ето тук като вектор х е равен на вектор v плюс вектор w. Можем да кажем просто, че проекцията на вектор х върху l е уникален вектор v от l, такъв, че x = v + w, като вектор w е уникален – искам да кажа, че той ще бъде уникален – в ортогоналното допълнение на правата l. Нали? Това ще е ортогонално на всички вектори от правата l. Значи този вектор принадлежи на ортогоналното допълнение на правата l. Това определение съответства на нашето ново определение за проекция чрез подпространства. И можем просто да разширим това до произволно подпространство, а не само за прави. Ще ти помогна да си го представиш. Ще го начертая. Да кажем, че имаме R3 ето тук. Имаме някакво подпространство в R3. Да кажем, че това подпространство е равнина. Ще го направя равнина, само за да стане ясно, че не е задължително да правим проекции само върху прави. Значи това е моето подпространство V. Сега ще начертая неговото ортогонално допълнение. Да кажем, че неговото ортогонално допълнение е нещо ето такова. Да кажем, че то е права. После то отива... пресича се ето тук. После отново обратно. Разбира се, те се пресичат в нулевия вектор. Това е единственото място, където едно подпространство и неговото ортогонално допълнение се пресичат. После минава отзад и после го виждаме отново. Разбира се, ние не бихме могли да го видим, защото тази равнина се простира безкрайно във всяка посока. Но разбираш идеята. Значи това тук е ортогоналното допълнание на подпространството V, тази права. Сега ще направя един произволен вектор в R3. Да кажем, че имаме някакъв вектор, който изглежда ето така. Да кажем, че това е вектор х. Новото определение за проекцията на х върху V е равно на уникалния вектор v. Това е вектор v. Това е подпространството V. Уникалният вектор v, който принадлежи на V, такъв че вектор х е равен на v + w, където вектор w e уникален член на ортогоналното допълнение на подпространството V. Това е новото определение. Ако кажа, че вектор х е равен на някакъв вектор от V и някакъв член на ортогоналното му допълнение – можем да го разгледаме на чертежа ето тук. Можем да кажем, че това ще е равно на... във V, това ще е равно на този вектор ето тук. И после на вектор от ортогоналното допълнение на V, събираме тези двете. Така че, ако трябва да го изместиш, ще получиш този вектор тук, ето така. Това тук е подпространството V. После това е един такъв вектор, който излиза от равнината, ортогонален е на равнината, това е w. Виждаш, че ако вземeм вектор v плюс вектор w, получаваме вектор х. И виждаш, че вектор v е проекцията върху подпространството V – това тук е вектор, малко v – проекцията на вектор х върху подпространството V. Аналогията със сянка все още е валидна. Ако си представиш, че някакъв лъч светлина идва право надолу, към нашето подпространство, един вид ортогонално на подпространството, проекцията върху нашето подпространство е един вид сянката на вектор х. Надявам се, че това ти помага да си го представиш по-добре. Но това, което правим ето тук, може да бъде обобщено. В началото на видеото ти показах права. Това тук е равнина. Но ние можем да обобщим за всякакво подпространство. Това е в R3. Можем да го обобщим за Rn, за R100. Ето колко универсално е това определение тук. Лесно е да го начертаем тук, но няма да е лесно да го начертаем, когато имаме повече измерения. Всъщност, още нещо. Искам да ти покажа това ново определение, което е почти идентично с това, което правим с прави. Това е идентично да кажем, че проекцията на някакъв вектор х в някакво подпространство V е равно на някакъв уникален вектор във V, такъв че вектор х минус проекцията му във V е ортогонален вектор на всеки член на подпространството V. Защото това твърдение ето тук, то ни казва, че всеки вектор, който е ортогонален на някакъв член от подпространството V, което означава члена на ортогоналното допълнение на V. Значи това твърдение може да се запише като вектор х минус проекцията на х върху V принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Можем да го означим като w. Ако наречем това v, и ако наречем това цялото w, получаваме същото определение като ето тук. Получаваме w е равно на х минус v. Ако добавим v към двете страни, получаваме w + v = x. Дефинирахме v да е проекцията на х върху V. w принадлежи на ортогоналното допълнение на V. И не искам да те обърквам. Вектор v е ортогоналната проекция на вектор х върху подпространството V. Може би трябваше да използвам различни символи, вместо малко и голямо v. Това малко затруднява изговарянето. Но просто исках да направя още едно видео, в което да онагледя проекциите върху подпространства, които не са прави, и да ти покажа, че старото определение, в което имахме проекция върху права, което е линейна трансформация, на практика е еквивалентно на новото определение. В следващото видео ще ти покажа, че това е линейна трансформация за всяко подпространство.