If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:13:25

Видео транскрипция

Имам четири наредени двойки координати. Първата е (–1;0). Начертах ги предварително. Значи (–1;0) е тази точка ето тук. Ще използвам тези нови цветове. Следващата точка е (0;1). Това е ето тази точка тук. Следващата точка е (1;2), която е ето тук. Последната точка е (2;1), която е ето тази тук. В това видео искам да намеря някаква права у = mх + v, която минава през тези точки. Първото нещо, което може да кажеш, е: "Хей, Сал, няма никаква права, която да минава през тези точки, това се вижда от пръв поглед. Вероятно можеш да намериш права през тези точки, но тя няма да мине през тази точка ето тук. Ако опиташ да прекараш права през тези две точки, тя няма да мине през тези точки ето тук. Така че няма да можеш да намериш решение, права, която минава през тези четири точки." Но хайде поне да съставим уравнение, което знаем, че няма да има решение, и може би с помощта на метода на най-малките квадрати да успеем да намерим права, която минава почти през тези точки. Или поне най-доброто приближение на права, която минава през тези четири точки. Първо, мога да представя моята права като у = mх + b. Ще я запиша като f(х) = mх + b, или у = f(х). Можем да го запишем по този начин. Значи първата точка ето тук – ще използвам този цвят, това оранжево – тя ни казва, че f(–1), което е равно на m по... ще го запиша по следния начин: –1 по m плюс b, това ще е равно на 0. Така получаваме първото уравнение. Второто уравнение получаваме от втората точка, която ни казва, че f(0) е равно на 0 по m, което е просто 0 + b равно на 1. f(0) е равно на 1. Това е f(х). Следващата точка – ще го направя в жълто – ни казва, че f(1), което е равно на 1 по m, или само на m, плюс b, ще бъде равно на 2. После този последна точка тук долу ни казва, че f(2), което разбира се е 2 по m, плюс b, че това е равно на 1. Тук няма ограничения. Ако приемем, че нашата права може да мине през всички тези точки, тогава всички тези равенства трябва да са верни. Сега можем веднага можем да опитаме да решим тази система от уравнения, но ще установим, че то няма решение. Искаме да намерим някакви m, и някакви b, които удовлетворяват всички тези уравнения. Друг начин да формулираме това е... искам да го представим като произведение на матрица с вектор или матрично уравнение. Можем да го запишем по следния начин. [–1;1;0;1;1;1;2;1] по вектор [m; b] трябва да е равно на вектор [0;1;2;1]. Тези две системи, тази система и тази система ето тук, са еквивалентни твърдения, нали? –1 по m плюс 1 по b трябва да е равно на това 0. 0 по m плюс 1 по b трябва да е равно на това 1. Това е еквивалентно на това твърдение ето тук. И то няма да има решение. Решението трябва да минава през всички тези четири точки. Затова да се опитаме да намерим решение по метода на най-малките квадрати. Ако означа това като А, ако означа това като х, и това като b, няма да има решение на уравнението А по х равно на b. Но може би можем да намерим, определено можем да намерим апроксимиращо решение по метода на най-малките квадрати. Да намерим апроксимиращо решение по метода на най-малките квадрати, такова че А транспонирана по А, по апроксимиращото решение чрез метода на най-малките квадрати (х звезда) да е равно на А транспонирана по b. Решението по метода на най-малките квадрати е това, което удовлетворява това уравнение. Доказахме го преди два урока. Да намерим А транспонирана по А и А транспонирана по b, и после можем да го решим. А транспонирана ще изглежда ето така. [–1;1;0;1;1;1;2;1]. Първият стълб тук става първи ред, вторият стълб става втори ред. Можем да умножим А транспонирана по А – матрицата А е ето това тук: –1, 0, 1, 2, и после само единици. На какво е равно това произведение? Имаме матрица 2 х 4 по матрица 4 х 2. Значи ще получим матрица 2 х 2. Това ще бъде равно на... ще го направя по следния начин. Ще получим –1 по –1, което е 1, плюс 0 по 0, което е 0... дотук имаме само 1, плюс 1 по 1. Значи това 1 плюс още 1 става 2, плюс 2 по 2. 2 по 2 е 4, така че получаваме 6. Това е този ред, умножен скаларно по този стълб, което е равно на 6. Сега да умножим скаларно този ред по този стълб. Това е –1 по 1, плюс 0 по 1, значи всички тези по 1, после събираме произведенията. Става –1 плюс 0, плюс 1... тук всички са нули... плюс 2. Получаваме 2. Това е просто скаларното произведение на този ред и този стълб. Сега да намерим скаларното произведение на този ред и този стълб. Това ще бъде 1 по –1, плюс 1 по 0, плюс 1 по 1, плюс 1 по 2. Всички тези са 1 по нещо друго, значи това е –1 плюс 0 по 1, което е 0 плюс 2. Значи това е 2. Накрая... надявам се, че виждаш някаква симетрия тук. Сега ще умножим скаларно този ред по този стълб ето тук. Колко е това? Това е 1 по 1, което е 1, плюс 1 по 1, става 2, плюс 1 по 1. Значи събираме четири единици. Ще получим, че това е равно на 4. Това е произведението на А транспонирана по А. Сега да намерим произведението на А транспонирана по b. Ще се преместя малко надолу. А транспонирана е пак тази матрица – ще сменя цветовете – –1, 0, 1, 2 и после всичко друго са единици. После матрицата b e равна на [0;1;2;1]. Умножаваме матрица 2 х 4 по матрица 4 х 1, така че ще получим матрица 2 х 1. Произведението им ще е матрица 2 х 1. Тук имаме –1 по 0, което е 0, плюс 0 по 1, което отново е 0. Плюс 1 по 2, което е 2, плюс 2 по 1, става четири, нали? Това е 2 плюс 2, така че тук ще бъде 4. После имаме 1 по 0, плюс 1 по 2, плюс... значи сборът от всички тези елементи, умножени по 1. Значи 0 плюс 1, 1 плюс 2 е 3, 3 плюс 1 е 4. Това е произведението на А транспонирана по b. Ето така намерихме, че апроксимиращото решение по метода на най-малките квадрати ще бъде решение на тази система. [6;2;2;4] по апроксимиращото решение по метода на най-малките квадрати ще е равно на [4;4]. Или можем да го направим по следния начин. Можем да напишем [6;2;2;4] по апроксимиращото решение по метода на най-малките квадрати, което ще запиша... спомни си, че първият елемент беше m. Ще го запиша като m*. Това е апроксимацията на m по метода на най-малките квадрати, а това е апроксимацията на b по метода на най-малките квадрати, равно на [4;4]. Мога да направя една разширена матрица, или мога просто да запиша това като система с две неизвестни, което вероятно е по-лесно. Ще го направя по следния начин. Ако го представя като система от две уравнения, това е 6 по m*, плюс 2 по b звезда, равно на 4. После имаме 2 по m*, плюс 4 по b звезда, е равно на това 4. Сега да намерим m звезда и b звезда. Ще умножа второто уравнение, всъщност ще умножа горното уравнение по 2. Това е чиста алгебра. Значи по 2, и какво ще получим? Получаваме 12 по m*, плюс 4 по b звезда, равно на 8. Просто умножихме горното уравнение по 2. Сега да умножим това цикламено 1 по –1. Това става минус, това става минус, и това става минус. Сега можем да съберем тези две уравнения. Получаваме –2 плюс 12m*, това дава 10 m звезда. После имаме –4b и +4b се унищожават; после равно на 4. Или m звезда е равно на 4/10, което е равно на 2/5. Сега можем да заместим обратно тази стойност. Можем да кажем, че 6 по m*... това е чиста алгебра. Значи 6 по m*, това е 6 по 2/5, плюс 2 по b*, равно на 4. Стига бяло, ще използвам жълто. Получаваме 12/5 плюс 2 по b* = 4, или 2b* е равно... ще се преместя малко надолу – ...2b* = 4. Което става 20/5 минус 12/5, което е равно на... изваждам 12/5 от двете страни – това става равно на 8/5. Делим двете страни на уравнението на 2, и получаваме, че b* = 4/5. Така намерихме стойностите на m звезда и на b звезда. Апроксимиращото решение по метода на най-малките квадрати е 2/5 и 4/5. Значи m = 2/5 и b = 4/5. Спомни си, че целта на това видео беше да намерим уравнението на правата у = m по х + b. Сега можем да намерим права, която преминава през всички тези точки тук, но това е апроксимация, получена по метода на най-малките квадрати. Това е правата, за която е най-малко разстоянието между А по нашия вектор и b. Това не е вектор, когато умножаваме по тази матрица А... това не е А, това е А транспонирана – няма друго решение, което да е по-близко до b, когато заместим току-що изчисленото х* в това уравнение. Това представлява най-добрата апроксимация. Тя минимизира разстоянието до b. Да запишем това. у = m по х + b. Значи у е равно на 2/5 по х плюс 4/5. (Сал погрешно записва b като 2/5). Да го начертаем. у = 2/5 по х + 4/5. Значи пресечната точка е 4/5, някъде тук. Това е 1. 4/5 е някъде тук. После наклонът е 2/5. Да кажем така: на всеки 2 единици и 1/2 надясно отиваме нагоре с 1 единица. Значи това е 1, 2 и 1/2 надясно, и сега нагоре с 1. Издигаме се с 1. Значи нашата права – очевидно това не е съвсем точно, но нашата права ще изглежда приблизително така. Искам да я направо колкото мога по-добре, защото това е забавната част. Тя ще изглежда приблизително така. Това тук е апроксимацията по метода на най-малките квадрати на права, която преминава през тези четири точки. Няма друга права, която по-добре да минимизира грешката, поне когато измерваме грешката като разстоянието между този вектор и този вектор А по апроксимацията, получена по метода на най-малките квадрати. Надявам се, че това ти се стори интересно.