Основно съдържание
Курс: Линейна алгебра > Раздел 3
Урок 4: Ортонормален базис и метод на Грам-Шмид- Ортонормален базис
- Координатите спрямо ортонормален базис
- Проекции в подпространства с ортонормални базиси
- Пример за намиране на проекция в подпространство с ортонормален базис
- Използване на ортогонална матрица на прехода за намиране на матрицата на трансформацията
- Ортогоналните матрици запазват ъглите и дължините
- Методът на Грам-Шмид
- Пример за процеса на Грам-Шмит
- Използване на метода на Грам-Шмид с три базисни вектора
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Пример за намиране на проекция в подпространство с ортонормален базис
Пример за намиране на трансформационна матрица за проекция в подпространство с ортонормален базис. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В последното видео видяхме, че
ако имам някакъв ортонормален базис, трябва да го запиша някак
съкратено – ако имам някакъв ортонормален базис,
тогава, за да намеря някакво проекцията на някакъв вектор х
в едно подпространство V, което принадлежи на Rn, тогава
трансформационната матрица се опростява до А по А транспонирана по х. Като матрицата А представлява матрица, чиито вектор-стълбове
са базисните вектори. Нека v1, v2... vk да са
базисните вектори. Ортонормалният базис –
може би ще го напиша така – това е ортонормален базис на
подпространството V. Видяхме това в последното видео,
но има и друга причина да харесваме ортонормалния
базис. Да разгледаме един
конкретен пример. Нека подпространството V
е равно на линейната обвивка на вектор [1/3; 2/3; 2/3] и вектор [2/3; 1/3; –2/3]. Вече сме показвали, че тези
два вектора са линейно независими, че и двата вектора имат
дължина 1, те са ортогонални помежду си. Можем да кажем, че множеството В –
ще го напиша по следния начин – ще нарека този вектор v1
за краткост, това е вектор v1, това
е вектор v2, и знаем, че множеството от векторите v1 и v2
е ортонормален базис на подпространството V. Сега ще използваме този резултат,
за да намерим проекцията на вектор х. Търсим трансформационната
матрица на проекцията на всеки вектор х в Rn –
в този случай това е R3 – проекцията в
нашето подпространство V. Като това подпространство
е равнина в R3. Каква ще е тази матрица? Ние установихме, че
просто трябва да конструираме една матрица А, която
е равна на – стълбовете на която са
тези два базисни вектора. Значи това са векторите
[1/3; 2/3; 2/3] и [2/3; 1/3; –2/3]. Ако конструираме матрицата А
по този начин, тогава проекцията на вектор х във V,
тази линейна трансформация може да се представи като
А по А транспонирана по х. За да намерим трансформационната
матрица, трябва просто да умножим тази матрица
по нейната транспонирана. Да го направим. Само ще копирам
и ще поставя това тук. Ще го направя ето тук. Значи това е матрицата А. Трябва да я умножа по матрицата
А транспонирана. А транспонирана е просто
[1/3;2/3;2/3;1/3; 2/3;–2/3]. Това е матрицата
А транспонирана. И на какво ще е равно това? Имаме матрица 3 х 2 по
матрица 2 х 3, значи ще получим
матрица 3 х 3. Което е логично, защото
това тук е изобразяване от R3 в R3. Нали? Даваш ми някакъв член
на R3, и аз ще ти дам друг член на R3, който
принадлежи на подпространството V, който е проекция на вектор х
във V, и както видяхме – е най-близкитя член на V
до вектор х. Какво ще получим? Това ще бъде матрица 3 х 3. Ще получим матрица 3 х 3. Първият член ето тук е
равен на скаларното произведение на този ред и този стълб. Това е 1/3 по 1/3, което е 1/9, плюс 2/3 по 2/3. Значи става 1/9 плюс 4/9. Мисля, че тук ще има
много дроби, много девети, затова няма да
пиша знаменателите. Това ще бъде 1/9 плюс 4/9,
което е 5/9, но аз просто ще запиша тук 5. Просто накрая ще добавим
знаменателите. Значи скаларното произведение
на този ред и този стълб. Сега ще умножа скаларно този
ред по този стълб. Получаваме 2/9 плюс 2/9, нали? Това са 4/9. Сега ще умножа скаларно
този ред по този стълб. Получаваме 2/9 минус 4/9,
това е –2/9. Сега умножаваме скаларно този ред,
ние сме във втория ред и получаваме –
умножаваме 2/3 по 1/3, което е 2/9, плюс 2/9,
това е равно на 4/9. Ще запиша само 4,
но знаем, че е 4/9. После имаме 2/9 плюс
1/9, което е 3/9. Само да проверя, че
всичко е вярно. 2/9... о, извинявам се, 2/3 по 2/3
е 4/3, значи 4... извинявам се, 2/3 по 2/3 е 4/9,
плюс 1/9 дава 5/9. После 4/9 минус 2/9
е 2/9. Сега да пресметнем последното
умножение, почти сме готови. Надявам се, че вече оценяваш,
че това е много по-лесно от това да вземем А транспонирана,
да намираме обратната матрица и т.н. Тук просто умножаваме
А по А транспонирана. Значи 2/3 по 1/3, това е
2/9 минус 4/9, става –2/9. После имаме 4/9
минус 2/9, което е 2/9. После имаме 4/9 плюс
4/9, което е 8/9. И ето така намерихме трансформационната матрица
за проекцията на произволен вектор в R3 в нашето подпространство V. И това беше много по-лесно
в сравнение с другите начини, които използвахме досега.