If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:42

Пример за намиране на проекция в подпространство с ортонормален базис

Видео транскрипция

В последното видео видяхме, че ако имам някакъв ортонормален базис, трябва да го запиша някак съкратено – ако имам някакъв ортонормален базис, тогава, за да намеря някакво проекцията на някакъв вектор х в едно подпространство V, което принадлежи на Rn, тогава трансформационната матрица се опростява до А по А транспонирана по х. Като матрицата А представлява матрица, чиито вектор-стълбове са базисните вектори. Нека v1, v2... vk да са базисните вектори. Ортонормалният базис – може би ще го напиша така – това е ортонормален базис на подпространството V. Видяхме това в последното видео, но има и друга причина да харесваме ортонормалния базис. Да разгледаме един конкретен пример. Нека подпространството V е равно на линейната обвивка на вектор [1/3; 2/3; 2/3] и вектор [2/3; 1/3; –2/3]. Вече сме показвали, че тези два вектора са линейно независими, че и двата вектора имат дължина 1, те са ортогонални помежду си. Можем да кажем, че множеството В – ще го напиша по следния начин – ще нарека този вектор v1 за краткост, това е вектор v1, това е вектор v2, и знаем, че множеството от векторите v1 и v2 е ортонормален базис на подпространството V. Сега ще използваме този резултат, за да намерим проекцията на вектор х. Търсим трансформационната матрица на проекцията на всеки вектор х в Rn – в този случай това е R3 – проекцията в нашето подпространство V. Като това подпространство е равнина в R3. Каква ще е тази матрица? Ние установихме, че просто трябва да конструираме една матрица А, която е равна на – стълбовете на която са тези два базисни вектора. Значи това са векторите [1/3; 2/3; 2/3] и [2/3; 1/3; –2/3]. Ако конструираме матрицата А по този начин, тогава проекцията на вектор х във V, тази линейна трансформация може да се представи като А по А транспонирана по х. За да намерим трансформационната матрица, трябва просто да умножим тази матрица по нейната транспонирана. Да го направим. Само ще копирам и ще поставя това тук. Ще го направя ето тук. Значи това е матрицата А. Трябва да я умножа по матрицата А транспонирана. А транспонирана е просто [1/3;2/3;2/3;1/3; 2/3;–2/3]. Това е матрицата А транспонирана. И на какво ще е равно това? Имаме матрица 3 х 2 по матрица 2 х 3, значи ще получим матрица 3 х 3. Което е логично, защото това тук е изобразяване от R3 в R3. Нали? Даваш ми някакъв член на R3, и аз ще ти дам друг член на R3, който принадлежи на подпространството V, който е проекция на вектор х във V, и както видяхме – е най-близкитя член на V до вектор х. Какво ще получим? Това ще бъде матрица 3 х 3. Ще получим матрица 3 х 3. Първият член ето тук е равен на скаларното произведение на този ред и този стълб. Това е 1/3 по 1/3, което е 1/9, плюс 2/3 по 2/3. Значи става 1/9 плюс 4/9. Мисля, че тук ще има много дроби, много девети, затова няма да пиша знаменателите. Това ще бъде 1/9 плюс 4/9, което е 5/9, но аз просто ще запиша тук 5. Просто накрая ще добавим знаменателите. Значи скаларното произведение на този ред и този стълб. Сега ще умножа скаларно този ред по този стълб. Получаваме 2/9 плюс 2/9, нали? Това са 4/9. Сега ще умножа скаларно този ред по този стълб. Получаваме 2/9 минус 4/9, това е –2/9. Сега умножаваме скаларно този ред, ние сме във втория ред и получаваме – умножаваме 2/3 по 1/3, което е 2/9, плюс 2/9, това е равно на 4/9. Ще запиша само 4, но знаем, че е 4/9. После имаме 2/9 плюс 1/9, което е 3/9. Само да проверя, че всичко е вярно. 2/9... о, извинявам се, 2/3 по 2/3 е 4/3, значи 4... извинявам се, 2/3 по 2/3 е 4/9, плюс 1/9 дава 5/9. После 4/9 минус 2/9 е 2/9. Сега да пресметнем последното умножение, почти сме готови. Надявам се, че вече оценяваш, че това е много по-лесно от това да вземем А транспонирана, да намираме обратната матрица и т.н. Тук просто умножаваме А по А транспонирана. Значи 2/3 по 1/3, това е 2/9 минус 4/9, става –2/9. После имаме 4/9 минус 2/9, което е 2/9. После имаме 4/9 плюс 4/9, което е 8/9. И ето така намерихме трансформационната матрица за проекцията на произволен вектор в R3 в нашето подпространство V. И това беше много по-лесно в сравнение с другите начини, които използвахме досега.