If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:11:16

Видео транскрипция

В последните няколко урока видяхме, че ако имаме някаква матрица С с размери n x n, т.е. тя е квадратна матрица, и ако нейните стълбове образуват ортонормално множество, което означава просто, че стълбовете са били нормализирани – всеки от тях има дължина 1, ако ги разглеждаме като вектор-стълбове. Всички те са ортогонални помежду си. Ако умножим скаларно един такъв вектор-стълб по самия него, получаваме 1, ако го умножим скаларно по някой от другите стълбове, получаваме 0. Видяхме това много пъти. Всеки вектор е ортогонален на всички други вектори. Ако имаме една такава матрица – като забравих да ти кажа името ѝ – това се нарича ортогонална матрица. Вече сме виждали, че транспонирата ѝ матрица е равна на нейната обратна матрица. Поради което такава матрица е изключително удобна за работа. Транспонираната ѝ матрица е равна на нейната обратна матрица. Това твърдение ни води до някои други интересни изводи. Досега разглеждахме това предимно в контекста на промяна на базиса. Мога да начертая диаграмата, която вероятно вече ти омръзна. Нека имаме един стандартен базис. Нека е даден вектор х, изразен с координати спрямо някакъв друг базис. Виждали сме, че можем да умножим този вектор по матрицата С, за да стигнем тук горе, трябва да умножим това по С обратна, за да получим това ето тук. В този свят ние разглеждахме матрицата С като матрица на прехода. Представяхме същата матрица – представяхме същия вектор. Ние просто променяхме координатите, с които представяме този вектор. Но също така знаем, че всяко произведение на матрица с вектор е също така и линейна трансформация. Значи тази промяна на базиса всъщност е просто една линейна трансформация. В това видео искам да ти покажа нещо, което можеш да разглеждаш или като промяна на базиса, или като линейна трансформация, искам да ти покажа, че когато умножаваш тази ортогонална матрица по някакъв вектор, тя запазва – ще запиша това – тя запазва дължините и ъглите. Да обсъдим малко по-конкретно какво означава това. Да я разгледаме като трансформация. Да кажем, че имаме някакво множество от вектори в нашето множество на първообразите. Нека това множество да изглежда ето така. Ще го направя като – ще начертая този вектор така, и този вектор ето така. Те сключват някакъв ъгъл помежду си. Ъглите се визуализират лесно в R2 и R3, но става по-трудно, когато имаме повече измерения. Това е ъгълът между тях. Когато казваме, че ъглите се запазват, и дължините се запазват, това означава, че ако умножа тези вектори по матрицата С, тогава можем да разглеждаме това като трансформация. Може би ще ги завъртя или... всъщност не... Може би ще ги завъртя или ще направя нещо такова. Може би този розов вектор сега ще изглежда ето така. Но той ще има същата дължина. Дължината му ще бъде същата като тази дължина. Даже нещо повече, когато казвам, че се запазват дължините и ъглите, този жълт вектор ще изглежда приблизително така. Този ъгъл ще бъде същият. Тези стойности ще бъдат същите. Това имам предвид под запазване на ъглите. Ако това не е изпълнено, можем да си представим трансформация, която не запазва ъглите. Ще начертая трансформация, която не запазва ъглите. Ако трансформираме това, не знам, да кажем, че този вектор стане много по-дълъг, а този вектор също става по-дълъг. Искам да ти покажа, че ъгълът също се променя. Векторът не само става по-дълъг, но и малко се изкривява. Значи ъгълът също се променя. Тази трансформация ето тук не запазва ъглите. Когато матрицата на прехода е ортогонална, тя на практика е трансформационна матрица, която е ортогонална, всичко, което тя прави с векторите, е, че тя един вид ги завърта наоколо, но на практика не ги изкривява. Ще поставя кавички, защото този термин не е издържан математически. Няма "изкривяване" на векторите. Аз един вид ти показах същината на това. Сега да докажем, че това наистина е така. Нека този розов вектор тук е вектор х, и този розов вектор тук е С по х, аз твърдя, че дължината на вектор х е равна на дължината на вектор С по х. Да видим дали е вярно. Квадрата на дължината на вектор С по х... Ще го запиша. Квадрата на дължината на вектор С по х е равна на скаларното произведение (С по х) . (С по х). Според мен винаги е полезно да си припомним, че ако умножим скаларно два вектора... ще го напиша ето тук. Да кажем, че умножаваме скаларно вектор по самия него – у . у. Това е равно на у транспонирана – ако разглеждаме векторите като матрици – у транспонирана по у. Матрицата у транспонирана по у е равна на [у1; у2... уn] по [у1; у2... уn]. Ако умножим матрица 1 х n по матрица n х 1, ще получим матрица 1 х 1, или просто едно число, което ще е равно на у1 по у1, плюс у2 по у2, и така нататък до yn по уn. Това е равно на скаларното произведение у . у. Мисля, че разглеждахме това преди 10 или 20 урока, но винаги е добре да си го припомним. Сега да използваме това свойство. Този вектор е умножен скаларно по себе си. Това е равно на произведението на неговата транспонирана матрица по неговата матрица. Преобразуваме произведението на двата вектора в прозведение на матрица с матрица. Това е равно на (С по х) транспонирана, по (С по х). Значи можем да разглеждаме това като матрица 1 x n, по матрица n х 1, което всъщност е вектор-стълба С по х. Те са едно и също нещо. Знаем още, че матрицата (А по В) транспонирана е равна на В транспонирана по А транспонирана. Видяхме това доста отдавна. Значи това тук ще е равно на х транспонирана по С транспонирана. Просто размених местата им и взех транспонираните им версии. х транспонирана по С транспонирана. После имаме това по (С по х). Знаем, че С транспонирана е равна на С обратна. (за ортогонална матрица). Ето за това ни е нужна ортогоналността на матрицата С. Тук ни е нужна квадратна матрица, на която всички стълбове са взаимно ортогонални и всички те са нормални. И това тук дава просто единичната матрица. Мога да запиша тук единичната матрица, но тя просто ще изчезне. Значи това е равно на х транспонирана по х. х транспонирана по х е равно на скаларното произведение х . х, което е равно на квадрата на дължината на вектор х. Значи квадрата на дължината на (С по х) е равна на квадрата на дължина на вектор х. Това означава, че дължината на вектор х, по-точно дължината на (С по х) е равна на дължината на х, защото това ще бъдат положителни стойности. Така ти доказах, че ортогоналните матрици определено запазват дължината. Сега да видим дали запазват ъглите. Но първо трябва да дефинираме ъгъл. В нашата математическа кариера познаваме понятието за ъгъл в R2 и R3. Но в линейната алгебра искаме да го обобщим. И дефинираме понятието ъгъл чрез скаларно произведение. Използваме косинусовата теорема, и правим аналогия с триъгълник в R2. Но ние дефинираме ъгъл или казваме, че скаларното произведение v . w е равно на произведенията от дължините на тези два вектора по косинуса на ъгъла между тях. Или можем да кажем, че косинусът на ъгъла между два вектора дефинираме като скаларното произведение на теза два вектора, разделено на дължините на тези два вектора. Това е определение, чрез което можем да използваме понятието ъгъл при произволен брой измерения, до R гугъл, ако е нужно. Да видим дали се запазват ъглите. Да видим какъв е ъгълът, когато умножим тези вектори по матрицата С. Ако искаме... нека кажем, че това е новият ни ъгъл – тита с индекс С. Значи косинус от ъгъл тита с индекс С. След като приложим нашата трансформация, ще приложим трансформацията на всички тези вектори. Ще получим (С по v) . (C по w) върху дължината на (С по v) по дължината на (С по w). Вече знаем, че дължините се запазват. Знаем вече, че дължините на (С по w) и (C по v) ще са равни на дължините на w и v. Току-що доказахме това. Ще го запиша. Значи косинус от ъгъл тита с индеск С е равно на (C по v) . (C по w), върху дължините на v по w. Ние вече показахме, че тази трансформация запазва дължините. Да видим на какво е равен този израз в числителя. Можем да използваме общото свойство. Скаларното произведение е равно на транспонираната версия на този вектор, който е един вид матрица, по втория вектор. Значи това е равно на (С по w) транспонирана, по (С по v). И всичко това е върху тези дължини. Това ще е равно на... ще го запиша ето тук, за да имам повече място. Можем да разместим тези и да умножим по тяхната транспонирана версия. Значи W транспонирана по С транспонирана по (C по v). Цялото това е върху произведението от дължините на v и w. Това е единичната матрица. Това е единичната матрица и това ще е равно на w транспонирана по v, върху произведението на дължините им. Изразът в числителя е равен на скаларното произведение v . w. Значи v . w върху произведението от техните дължини. Което е равно на косинус от тита. Обърни внимание, че съгласно определението за ъгъл като скаларно произведение на векторите, разделено на дължините на векторите, когато извършваме трансформация или ако си представим промяна на базиса, и в двата случая, когато имаме ортогонална матрица С ъгълът между двата трансформирани вектора не се променя. Той е равен на ъгъла между векторите преди тяхната трансформация. Което е много хубаво нещо, което да се знае. Промяната на базиса или трансформацията с ортогонални матрици не изкривява векторите. Те само един вид се въртят около себе си или се изместват малтко, но ъглите между тях не се променят.