Използване на метода на Грам-Шмид с три базисни вектора

Да направим още един пример с метода на Грам-Шмид. Нека е дадено подпространството V, което е линейна обвивка на векторите... да кажем, че сме в R4, така че първият вектор е [0;0;1;1]. Вторият вектор е [0;1;1;0]. Третият вектор е... значи това е тримерно подпространство в R4 – третият вектор е [1;1;0;0]. Това е тримерно подпространство в R4. Сега искаме да намерим ортонормален базис на подпространството V. Искаме да заместим тези вектори с три други вектора, които са ортогонални помежду си и имат дължина 1. Да приложим същия метод като преди. Нека означим този вектор като v1, този е v2, и този вектор е v3. Най-напред искам да заместя вектор v1... избирам го произволно, просто защото е първият вектор отляво. Искам да заместя вектор v1 с неговата ортогонална версия. Ще го означа като вектор u1 – първо ще намеря дължината на вектор v1. Не мисля, че е нужно да ти обяснявам теорията на този етап. Просто искам да покажа още един пример. Дължината на вектор v1 е равна на квадратен корен от 0^2 плюс 0^2, плюс 1^2, плюс 1^2, което е равно на корен квадратен от 2. Сега ще дефинирам новия вектор u1 да е равен на 1 върху дължината на вектор v1 което е 1 върху корен квадратен от 2, по вектор v1, т.е. по [0;0;1;1]. И така, линейната обвивка на векторите v1, v2 и v3 е същата като линейната обвивка на векторите u1, v2 и v3. Това е първият вектор, който нормализирах. Сега мога да кажа, че V е равно на линейната обвивка на векторите u1, v2 и v3. Мога да заместя вектор v1 с вектор u1, понеже v1 е просто мащабирана версия на вектор u1. Определено мога да представя v1 чрез u1, така че мога да представя всяка линейна комбинация на тези вектори с всяка линейна комбинация на тези вектори тук. Сега се справих с първия вектор. Просто нормализирах вектор v1. Сега трябва да заместя и другите вектори с вектори, които са ортогонални на тези вектори ето тук. Първо да заместим вектор v2 с... да го наречем вектор u2, който е равен на v2 минус проекцията на v2 в в подпространството, което е линейна обвивка на u1 или... можем да го означим като вектор с по u1, а в предишните клипове го нарекохме подпространство V1, но това е пространство с базов вектор u1. И това ще е равно на у2, който е равен на v2, който е [0;1;1;0], минус... проекцията на вектор v2 в това пространство е просто скаларното произведение на v2, [0;1;1;0], с базовия вектор на това пространство. Базовият вектор е само един, така че ще имаме само един член като този с u1, умножен скаларно по 1 върху квадратен корен от 2 по [0;0;1;1] и после целият израз по вектор u1. Значи 1 върху квадратен корен от 2 по вектор [0;0;1;1]. Това ще е равно на вектор v2, който е [0;1;1;0]. Ще изнеса квадратен корен от 2. После получавам... или един вид ги разобединявам. После получавам 1 върху квадратен корен от 2 по 1 върху квадратен корен от 2, което е –(1/2). Това е умножено по... колко е скаларното произведение на тези два вектора? Получаваме 0 по 0, плюс 1 по 0, което си е 0, плюс 1 по 1, плюс 0 по 0. Значи ще имаме 1 по това ето тук: [0;0;1;1]. Ще запиша това малко по-прегледно. Ставам невнимателен. 1,1. Това ще бъде равно на [0;1;1;0] минус... 1/2 по 0 е 0. 1/2 по 0 е 0. После имаме 1/2 и пак 1/2. Значи у2 е равен на... да видим, 0 минус 0 е 0, 1 минус 0 е 1, 1 минус 1/2 е 1/2, после 0 минус 1/2 е –(1/2). Сега можем да запишем V като линейната обвивка на векторите u1, у2 и v3. И това е напредък. u1 е ортогонален... извинявам се, u1 е нормализиран. Той има дължина 1. Вектор у2 е ортогонален на u1 или те са взаимно ортогонални, но вектор у2 все още не е нормализиран. Затова ще заместя вектор у2 с неговата нормализирана версия. Дължината на вектор у2 е равна на корен квадратен от 0 плюс 1^2, което е 1, плюс (1/2)^2, което е 1/4, плюс (–1/2)^2, което също е 1/4, значи плюс 1/4. Значи това дава 1 цяло и 1/2. Това е равно на корен квадратен от 3/2. И сега ще дефинирам още един вектор. Вектор u2, който е равен на 1 върху квадратен корен от 3/2, или можем да кажем равен на корен квадратен от 2/3, просто взимам реципрочната стойност. Това е равно на 1 върху дължината на вектор у2. Само трябва да намеря реципрочната стойност, значи това е корен квадратен от 2/3 по у2, по този вектор тук, по вектор [0;1;1/2;–1/2]. Тази линейна обвивка е равна на линейната обвивка на векторите u1, u2 и v3. u2 е вторият ни базисен вектор. Това е сериозен напредък. Тези вектори са ортогонални помежду си. И двата вектора имат дължина 1. Сега трябва само да направим нещо с вектор v3. Ще направим същото. Ще намерим вектор, който е ортогонален на тези вектори и като сумираме този вектор с някаква линейна комбинация на тези вектори, ще получим вектор v3. Ще нарека този вектор у3. Вектор у3 е равен на вектор v3 минус проекцията на v3 в подпространството, чиито базисни вектори са u1 и u2. Мога да нарека това подпространство... ще го напиша ето тук. Линейната обвивка на векторите u1 и u2 ще нарека V2. Значи вектор v3... всъщност дори не е нужно да записвам това. Минус проекцията на вектор v3 във V2. На какво ще е равно това? Това е равно на скаларното произведение (v3 . u1) по вектор u1... И нека само... плюс (v3 . u2) по u2, по вектор u2. Понеже това е ортонормален базис, проекцията в него, ако умножим скаларно вектор v2 по всеки от базисните вектори в ортонормалния базис, и после умножим тези произведения по ортонормалните базисни вектори. Видяхме това преди няколко урока. Това е една от хубавите страни на ортонормалните базиси. И на какво ще е равно това? Още малко изчисления. Вектор у3 е равен на вектор v3, който е ето тук. Това е вектор v3. Вектор v3 изглежда ето така. Това е вектор [1;1;0;0] минус скаларното произведение (v3 . u1). Значи това е минус вектор v3, [1;1;0;0], умножен скаларно по u1. Значи умножаваме скаларно по 1 върху корен квадратен от 2 по [0;0;1;1]. Това е вектор u1 – тази част ето тук – по вектор u1, значи по 1 върху квадратен корен от 2 по [0;0;1;1]. Тази част ето тук е ето тази част тук. После можем да разкрием скобите и да умножим по –1, така че това ще стане плюс. Виждаш, имаме плюс, но тук имаме и този минус, така че става – v3. Ще сменя цветовете. Минус v3, който е [1;1;0;0], умножен скаларно по u2, умножен скаларно по квадратен корен от 2/3 по [0;1;1/2;–1/2], по u2. по вектор u2, по квадратен корен от 2/3, по вектор [0;1;1/2;–1/2]. И какво получаваме? Да пресметнем това. Можем да... това ще е равно на вектор [1;1;0;0] минус... значи 1 върху корен квадратен от 2, и 1 върху корен квадратен от 2, умножаваме ги. Това дава 1/2. После, когато извършим скаларното умножение на тези два вектора, 1 по 0... да видим, това всъщност ще бъде, ако умножим скаларно всички тези, това всъщност ще ни даде 0, нали? Значи вектор v3, той всъщност вече е ортогонален на вектор u1. Това става направо 0, което е много добре. Няма да имаме този член ето тук. Умножаваме скаларно 1 по 0, плюс 1 по 0, плюс 0 по 1, плюс 0 по 1, всичко това става нули. Значи този член отпада целият. Можем да го игнорираме, което опростява изчисленията. Тук имаме минус корен квадратен от 2/3 по корен квадратен от 2/3, което е просто 2/3, по скаларното произведение на тези два вектора. Това е 1 по 0, което е 0, плюс 1 по 1, което е 1, плюс 0 по 1/2, което е 0, плюс 0 по –1/2, което е 0, така че ни остава само 1, по вектор [0;1;1/2;–1/2]. И какво получаваме? Получаваме – това е вече самият финал – [1;1;0;0] минус 2/3 по всички тези вектори. Значи 2/3 по 0 е 0. 2/3 по 1 е 2/3. 2/3 по 1/2 е 1/3. После 2/3 по –1/2 е равно на –1/3. Значи това е равно на 1 минус 0, което е 1, 1 минус 2/3 е 1/3, 0 минус 1/3 е –1/3, и накрая 0 минус –1/3 е плюс 1/3. Този вектор у3 е ортогонален на тези два вектора, което е добре, но все пак той трябва да бъде нормализиран. Накрая трябва да нормализираме този вектор, и сме готови. Тогава ще имаме ортонормален базис. Вече имаме векторите u1 и u2, и сега ще намерим вектор u3. Дължината на вектор у... всъщност ще направя нещо даже още по-добро. Ще опростя малко нещата. Вместо да записвам вектор у по този начин, ще го мащабирам, нали? Искам просто един вектор, който е ортогонален на другите два вектора, които пак имат същата линейна обвивка. Мога да мащабирам този вектор. Мога да кажа че... не знам, нека го наречем у3 – ще го означа като вектор у3' (прим). Правя това само за да опростя изчисленията. Можем да мащабираме този вектор, да го умножим по 3. Какво ще получим? Може би трябваше да го направя и с някой от другите вектори. Получаваме [3;1;–1;1]. Сега мога да заместя вектор у3 с този вектор у3', и след това просто да нормализирам този вектор. Това ще бъде по-лесно. Значи дължината на вектор у3', който току-що дефинирах, е равна на корен квадратен от 3^2, което е 9, плюс 1^2, плюс (–1)^2, плюс 1^2, което е равно на корен квадратен от 12, което е колко? Това е 2 по корен квадратен от 3. Корен квадратен от 4 по корен квадратен от 3, което е равно на 2 по корен квадратен от 3. Сега мога да намеря u3, който е равен на у3 по 1 върху дължината на у3, значи е равен на 1 върху 2 по корен квадратен от 3, по вектор [3;1;–1;1]. И след това сме готови. Ако имаме базис, един ортонормален базис би бил този – ще сваля другите ето тук – и тези вектори. Всички те образуват – ще сваля всички тези долу. Ако имам множество от тези три вектора, сега има ортонормален базис на V – това са тези три вектора тук. Това множество е ортонормалният базис на моето оригинално подпространство V, с което започнахме.