If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:27

Видео транскрипция

Дадена е една матрица А. Преди няколко урока научихме, че нейното векторно пространство, определено чрез вектор-редовете, е равно на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата А транспонирана. Това тук е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Нейното ортогонално допълнение, което представлява множеството от всички вектори, които са ортогонални на тези вектори, нейното ортогоналното допълнение е равно на нулевото пространство на матрицата А. Резултатът е същият, ако разменим матрицата А и матрицата А транспонирана, като учихме също, че ортогоналното допълнение на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, е равно на лявото нулево пространство на матрицата А, което е еквивалентно на нулевото пространство на матрицата А транспонирана. Можем да запишем това, само да изясним терминологията – това е лявото нулево пространство, което е еквивалентно на нулевото пространство на матрицата А транспонирана. А кое е ортогоналното допълнение на нулевото пространство на матрицата А? Може би се досещаш, че това е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, но досега нямахме инструменти, до предходното видео, за да го докажем. В последното видео видяхме, че ако вземем ортогоналното допълнение – ще го напиша по следния начин – ако вземем ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, това е равно на оригиналното подпространство. И какво да направим сега? Ще вземем ортогоналното допълнение на нулевото пространство на матрицата А. Нулевото пространство на матрицата А е просто това тук. Значи то е равно на ортогоналното допълнение на нулевото пространство на матрицата А. Но нулевото пространство на матрицата А е ето това тук. Това е ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Сега, това практически е ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Можем да използваме това свойство, което доказахме в предходното видео, за да кажем, че това просто е равно на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, което е равно на векторното пространство на матрицата А транспонирана, определено чрез вектор-стълбовете. Значи ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, е нулевото пространство, и ортогоналното допълнение на нулевото пространство е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Можем да приложим същото свойство и към тази страна ето тук. Кое е ортогоналното допълнение на лявото нулево пространство на матрицата А? Какво е то? То ще е равно на ортогоналното допълнение на това тук, защото лявото нулево пространство на матрицата А е равно на това. Значи това е равно на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено по вектор-стълбове. А току-що научихме в последното видео, че ако вземем ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, то е равно на оригиналното подпространство. Значи това е равно на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбове. Наблюдаваме една хубава симетрия. Нулевото пространство е ортогоналното допълнение на векторното пространство, определено чрез вектор-редове, а последното от своя страна е равно на ортогоналното допълнение на нулевото пространство. По същия начин, лявото нулево пространство на ортогоналното допълнение е равно на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбове. А векторното пространство, определено чрез вектор-стълбове, е ортогоналното допълнение на лявото нулево пространство. Така че тук има една хубава симетрия, която успяхме да докажем, въз основа на това, което видяхме в предходното видео.