Ортогонално допълнение на ортогонално допълнение

Нека е дадено някакво подпространство на Rn, наречено V. Ще го начертая ето така. Значи това е Rn. Имам някакво подпространство в него, което е означено като V. Значи това е подпространството V. Знаем, че ортогоналното допълнение на V е равно на множеството на всички членове на Rn – значи всички вектори х, принадлежащи на Rn – такива, че скаларното произведение х . v = 0 за всеки вектор v, който принадлежи на нашето подпространство. Значи ортогоналното допълнение на нашето подпространство ще съдържа всички вектори, които са ортогонални на всички тези вектори. Виждали сме по-рано, че сечението на тези две множества съдържа само – има само един вектор, който принадлежи и на двете. Това е нулевият вектор. Ето го тук. Ще направя и ортогоналното допълнение. Да кажем, че е това множество тук, в розово, така че това е ортогоналното допълнение. Добре. А какво представлява ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение? Това тук в розово е ортогоналното допълнение. Търсим неговото ортогонално допълнение. Значи това ще бъдат всички вектори х – всъщност ще го напиша по този начин. Всички х, които принадлежат на Rn, такива че скаларното произведение х . w = 0 за всяко w, което принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Ето това означава това нещо тук. Значи това са всички вектори в Rn, които са ортогонални на всички вектори ето тук. Очевидно, всички тези вектори на V ще принадлежат и на това множество, защото тези вектори са ортогонални на всички тези вектори тук. Но може би това е просто подмножество на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Може би това нещо в синьо ето тук изглежда ето така. Може би е малко по-голямо от V. Може би тук има някакви неща, които аз оцветявам в синьо, може би има някакви вектори, които са ортогонални на ортогоналното допълнение на V, но са извън V. Още не знаем това. Не знаем дали тази област ето тук съществува. Или може би ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение... Може би това ни връща обратно в V. Може би това е като транспониране или като обратна функция, която просто ни връща обратно в оригиналното подпространство. Да видим можем ли да направим по-задълбочени разсъждения. Да кажем, че имаме някакъв член на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Да кажем, че имаме някакъв вектор х, който принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. В последното видео видяхме, че произволен вектор в Rn може да се представи като сума от някакъв вектор в едно подпространство и вектор в ортогоналното му допълнение. Значи знаем, че вектор х може да се представи като – вектор х може да се представи като сбор на два вектора. Единият е в V, а другият е в ортогоналното допълнение на V. Да наречем v вектора, койтое в V, и да наречем w вектора, който е в ортогоналното допълнение на V. Ще го запиша по следния начин – вектор v принадлежи на подпространството V, а вектор w принадлежи на ортогоналното допълнение на V. Нали? Значи това е някакъв член. Може да е някакъв вектор ето тук. Може да е някакъв вектор ето тук. Той принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Което е цялата тази област тук. V е негово подмножество, но не сме сигурни дали V съвпада с това нещо. Но казваме, че всичко, което е в ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, ще принадлежи на Rn. А всичко, което е в Rn, може да се представи като сбор от вектор в V и вектор в ортогоналното допълнение на V. Ето това е всичко, което записах дотук. А какво ще се случи, ако умножа скаларно векторите x и w? На какво ще е равно скаларното им произведение? Това е ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Ще умножим скаларно произволен вектор от ето тук с произволен вектор от ортогоналното допълнение, което е ето този вектор. Нали? Той принадлежи на ортогоналното допълнение. По определение ще получим нула. Това са всички вектори. Този вектор определено е ортогонален на всичко в V перп, нали? Всеки вектор в (V перп) перп е ортогонален на всички вектори в V перп. Значи това произведение ще бъде равно на нула. А по какъв друг начин можем да запишем х . w? Можем да го запишем ето така. Това е същото нещо като (v + w) . w. Което е равно на v . w + w . w. Какво представлява скаларното произведение v . w? v принадлежи на нашето оригинално подпространство. Ако го умножим скаларно по произволен вектор от оригиналното подпространство, по произволен вектор от ортогоналното допълнение, ще получим нула. Значи този член тук ще бъде 0, и после остава само този член, който е равен на дължината на вектора на квадрат. Значи това трябва да е нула. Спомни си, току-що написахме х . w. Вектор х принадлежи на ортогоналното допълнение на нашето ортогонално допълнение. Умножаваме го скаларно по кой да е вектор от ортогоналното допълнение и това произведение трябва да е нула. Но, ако го запишем по другия начин, ако го представим като сума от (v + w) и разкрием скобите и умножим по това w, тогава това е равно на дължината на w на квадрат. Значи дължината на вектор w на квадрат трябва да е 0. Което означава, че вектор w е нулевият вектор. Това е единственият член на Rn, чиято дължина, особено когато я повдигнем на квадрат, е нула. Но можем да вземем просто дължината. Какво означава това? Това означава, че първоначалният вектор х е равен на v + w. Но вектор w просто е равен на 0. Това означава, че оригиналният вектор х е равен на вектор v. А вектор v принадлежи на нашето подпространство V. Нали така? Това означава, че вектор х принадлежи на подпространството V. Така доказахме, че ако един вектор принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, тогава същият вектор трябва да принадлежи на оригиналното подпространство. Няма нито един вектор, който принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, който да не принадлежи на първоначалното подпространство. Всички тези вектори трябва да принадлежат тук вътре. Значи тук няма такова външно синьо пространство. Всичко това е нашето оригинално подпространство, ако искаш да го разглеждаш по този начин. И в началото на видеото – всичко, което принадлежи на нашето подпространство ще принадлежи на ортогоналното допълнение. Можеш да разсъдиш върху това наум. Да използваме същата логика, но малко по-задълбочено. Казахме, че всичко, което принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, принадлежи на оригиналното подпространство. Да го разгледаме по обратния начин. Да кажем, че даден вектор v принадлежи на оригиналното подпространство V. Ще направя нов чертеж, защото може да ни е полезно. Ще начертая отново Rn. Ще начертая цялото пространство Rn ето така. Имаме ортогоналното допълнение. Първо ще начертая него. Това е V перп. и после имаме ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, което може би е това множество ето тук. Нали? Това е V перп. Даже не съм направил подмножеството V. Тук просто показвам, че имам някакво подпространство, което наричам V перп. После имам ортогоналното допълнение на това подпространство. Това означава, че всеки вектор в Rn може да се представи като сбор на вектор, който е тук, и вектор, който е ето тук. Значи, ако кажа, че w – ще използвам цикламено. Ако кажа, че вектор w – ще го напиша по следния начин. Вектор v може да се представи като сбор от вектор w и вектор х, като вектор w принадлежи на ортогоналното допълнение на V или V перп, и вектор х принадлежи на неговото ортогонално допълнение. Обърни внимание, че казвам просто – можех да нарека това множество S. Тогава това тук щеше да е S, а това неговото ортогонално допълнение. Учихме, че всеки вектор в Rn може да се представи като сбор от някакъв вектор в едно подпространство и вектор от ортогоналното допълнение на това подпространство. Няма значение, че има някаква връзка между v и това. Това може да се представи като сума на вектор от тук плюс вектор от ето тук. Добре. И какво ще се случи, ако умножа скаларно векторите v и w? Ще използвам съвсем същата логика, която използвах преди. Ако вземем един вектор, който принадлежи на нашето оригинално подпространство, и го умножим скаларно по вектор от неговото ортогонално допълнение, ще получим нула. На какво друго ще е равно това произведение? Ако представя v като сбор на тези вектори, v . w ще е равно на (w + x), умножено скаларно по w. Значи (w + х), умножено по w... това ще е равно на w . w плюс х . w. А колко е x . w? х принадлежи на ортогоналното допълнение на на нашето ортогонално допълнение. Вектор w принадлежи на ортогоналното допълнение. Ако ги умножа скаларно, това ще е равно на 0. Те са ортогонални помежду си. Значи това е равно само на w . w или на дължината на вектор w на квадрат. И понеже това трябва да е нула, тук имаме няколко равенства, което означава отново, че вектор w трябва да е равен на нула. Това означава, че вектор v е равен на (w + x). Но щом вектор w е равен на нула, тогава вектор v ще е равен на вектор x. Така доказахме току-що, че ако вектор v принадлежи на подпространството V, тогава вектор v принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Вектор v е равен на вектор х, който принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение. Така че го доказахме и по двата начина. Ако разгледаш първоначалното твърдение, ние написахме тук, че ако един вектор принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, тогава той принадлежи на оригиналното подпространство. Значи доказахме това, и по-рано във видеото доказахме, че ако вектор х принадлежи на ортогоналното допълнение на ортогоналното допълнение, тогава вектор х принадлежи на нашето подпространство. Значи тези две твърдения са еквивалентни. Всички вектори, които принадлежат на подпространството V, принадлежат на (V перп.) перп. Всички вектори в (V перп.) перп. принадлежат на нашето подпространство. Значи нашето подпространство и (V перп.) перп. са едно и също множество. Те, разбира се, се припокриват. Това е равно на това. И, разбира се, сечението на V перп. и неговото ортогонално допълнение е само нулевият вектор ето тук.