Пример за намиране на решение на уравнението А по х = b във векторното пространство, определено чрез вектор-редове

Дадена е матрица А с размер 2 х 2, и вектор b, който принадлежи на R2. Да намерим всички интересни характеристики, които можем, за този вектор и за тази матрица. Първото интересно нещо, като това ще ни помогне да онагледим това, което научихме в последното видео – това е нулевото пространство на А. За да определим нулевото пространство на матрицата А, знаем, че то е равно на нулевото пространство на ешелонната форма на матрицата А. Хайде да преобразуваме матрицата А в ешелонна форма. Да оставим първия ред непроменен, това са 3, –2. Да заменим втория ред с втория ред минус 2 по първия ред, значи 6 минус, 2 по 3, това е нула. –4 минус, 2 по –2, това е 0. Сега да заместим първия ред с първия ред, делен на 3. Това става 1, – 2/3, вторият ред е пак са нули. Това е ешелонната форма на матрицата А. Искаме да определим нейното нулево пространство. Искаме да намерим всички вектори, по които можем да я умножим... Това е вектор [х1; х2], и да получим нулевия вектор в R2. Вторият ред не ни дава информация, 0 по х1, плюс 0 по х2 е равно на 0. Тук няма никаква информация. Значи сме ограничени до първия ред. 1 по х1 – ще го запиша ето тук – значи 1 по х1, плюс... ще го запиша така – –2/3 по х2 е равно на тази нула. Равно е на тази нула ето тук. Можем да напишем и, че х1 е равно на 2/3 по х2. За да запишем нулевото пространство на матрицата А – всъщност, преди да го напиша ще опростя малко нещата, само за да ти покажа, че х2 не е някакво специално число, да кажем, че х2 = t, като t е някакво реално число. После ще имаме х1 = (2/3) по t. Значи нулевото пространство на матрицата А е равно на множеството от всички х1 и х2, които са равни на някакво реално число t по този вектор. х2 е равно на t по 1, х1 е равно на t по 2/3. Значи [2/3; 1]. Ето така. Това е нулевото пространство. Всички мащабирани версии на вектора [2/3; 1]. И за да опростим това още малко, можем да изберем с, да изберем t, извинявам се, да изберем t да е равно на 3с. Какво ще получим? Ако това е равно на 3с, ако умножим тези елементи по 3, можем да преработим това да е равно на [х1; х2], което е равно на скалара с, което е някакво друго реално число, по... 3 по 2/3 е 2, 3 по 1 е 3. Причината да направя това е за да представя нулевото пространство като малко по-прост базисен вектор. Вектор, който не съдържа дроби. Можем да запишем също, че нулевото пространство е равно на линейната обвивка на вектора [2;3]. Всички тези твърдения са еквивалентни. Значи определихме нулевото пространство. Може би друго интересно нещо, особено ако искаме да го свържем с предходното видео, е да намерим множеството от решенията на уравнението А по х = b. За да го направим, просто съставяме една разширена матрица. Съставяме разширена матрица – [3; –2; 6; –4], и я разширяваме с b [9; 18]. След това преобразуваме лявата страна в ешелонна форма, и получаваме – ще запазя първия ред непроменен – имаме 3, –2, после 9. Сега да заместим втория ред с втория ред минус 2 по първия ред. Получаваме 6 минус, 2 по 3, това е 0, –4 минус, 2 по –2, това също е нула. –4 плюс 4. 18 минус, 2 по 9, това е 18 минус 18, това също е нула. Почти сме готови. Сега да заместим първия ред с първия ред, делен на 3. Вторият ред остава същият. Първият ред ще бъде 1, –2/3, после тук е 3. Ако искаме да препишем това като уравнение, можем да запишем матрицата [1;–2/3;0;0] по вектор, който е в множеството на решенията, [х1;х2] е равно на вектор [3;0]. Друг начин да формулираме това е, че вторият ред не ни дава реални ограничения, така че няма да му обръщаме внимание. Първият ред ни казва, че х1 минус (2/3) по х2 е равно на 3. Или, че х1 е равно на 3 плюс (2/3) по х2. Да направим същото и тук. Ако кажем, че х2 е равно на t, тогава х1 е равно на 3 плюс (2/3) по t. Или можем да кажем, че множеството от решенията на А по х = b е множеството, което съдържа всички х1 и х2, които са равни на... да видим, х1 е равно на 3 плюс 2/3 по х2, значи плюс t по (2/3). Ще го запиша по следния начин. (записва решението като сбор от вектори) Плюс това ето тук. х2 е равно на t, значи това е просто 1 по t, плюс, да кажем просто 0. Това е множеството от решенията ето тук. Може би веднага разпознаваш, че това е някакво конкретно решение плюс някаква мащабирана версия на на нулевото ни пространство. Това е множеството от решенията. Мога да заместя по същия начин както ето тук. Можем да заместим t с 3с, и можем също така да преработим това като равно на... ще го напиша подробно – [х1; х2] е равно на вектор – ще ми свърши мястото – [3;0] плюс с по... ще се преместя малко – плюс с по вектор... 3 по 2/3 е 2, 3 по 1 е 3. Значи е равно на вектор [3;0] плюс някакъв член на нулевото ни пространство, нали? Нулевото пространство беше линейната обвивка на вектор [2; 3] или на всички мащабирани версии на нулевото пространство. Това е, когато с е произволно реално число. Значи това е множеството на решенията. Това е нулевото пространство. Сега, друго нещо, което може да е интересно, само защото е ортогонално допълнение на нулевото пространство, и което е свързано с това, което правихме в предходното видео, е кое е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, е просто векторното пространство на матрицата А транспонирана, определено чрез вектор-стълбовете. Това е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. На какво е равно то? Това е равно на линейната обвивка на вектор-редовете на матрицата А. Значи имаме [3; –2], и имаме [6; –4]. Но този вектор е просто 2 пъти този вектор ето тук, така че можем да го игнорираме. Значи това е линейната обвивка на вектор [3; –2]. Сега да ги начертаем. Имаме векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, имаме множеството от решенията и имаме нулевото пространство. Да видим мога ли да ги начертая. Мисля, че ще успея да го начертая ето тук. Това е вертикалната ос. Това е хоризонталната ос. Как ще изглежда нулевото пространство? Това са всички мащабирани версии на вектор [2;3]. Значи имаме 1, 2 и после нагоре 1, 2, 3, така изглежда вектор [2;3] в стандартно положение. Нулевото пространство са всички мащабирани версии на този вектор. Значи всички мащабирани версии на този вектор. Всички мащабирани версии образуват една права, която изглежда приблизително така. Ако вземем всички мащабирани версии на този вектор, получаваме много вектори, които сочат към всяка точка върху тази зелена права тук. Значи това тук е нулевото пространство на матрицата А. Как изглежда множеството от решенията? Множеството от решенията е векторът [3;0]. Значи вектор [3;0], имаме 1, 2, 3. Това е вектор [3;0], плюс членовете на нулевото пространство. Ако вземем някое от тези – да кажем, че събера 2, 3... [2;3] ще изглежда ето така. И прибавяме всички мащабирани версии на [2;3]. Когато прибавим всички мащабирани версии на вектор [2;3], получаваме ето тази права. Тя е изместена, на практика, с вектор [3;0]. Значи това е множеството на решенията. Решенията на уравнението А по х равно на b. Това е множеството на решенията. А какво представлява векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете? Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете са всички мащабирани версии на вектор [3;–2]. Как изглежда вектор [3;–2]? Отиваме на 1, 2, 3, а после отиваме с 2 надолу. Значи 1, 2 и после ето така. Ще изглежда приблизително ето така, и тогава, ако трябва да го начертаем, можем да кажем, че ще изглежда приблизително – искам да е сравнително прегледно – ще изглежда приблизително така. Всъщност ще използвам друг цвят. Ще изглежда приблизително ето така – не мога да го направя право. О, това е ужасно. Нещо долу вдясно ... това е доста добър опит. Това тук е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Защото, ако имаме [3;–2], това е горе-долу в тази точка, а после искаме всички мащабирани версии на този вектор, нали? [3; –2], ако го умножим по –1, ще получим вектор [–3, 2], който ще изглежда ето така. Това е [–3; 2]. Ще изглежда ето така, 1, 2, 3 и после 2 нагоре, ето така, значи всички мащабирани със скаларен множител версии на този вектор. Това е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете. Забележи – о, извинявам се, това е векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Обърни внимание, че векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, е ортогонално на нулевото пространство. Това е добро графично представяне на всичко, което можем да направим с тази матрица ето тук, нашата матрица А. Но в последното видео достигнахме до един интересен извод. Получихме интересен резултат. Казахме, че ако имаме някакъв вектор b – искам нов цвят – установихме, че ако имаме някакъв вектор b, който принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете, тогава решението с най-малка дължина, или можем да кажем най-малкото, или най-късото решение на уравнението А по х = b е уникален член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Това беше най-важният извод от предходното видео. Може би това изглеждаше трудно за онагледяване преди. Но сега, когато начертах всичко това, мисля, че мога да го визуализирам. Тази синя права тук е множеството от решенията. Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете е тази права, която е перпендикулярна на множеството от решенията. Обърни внимание, че един от векторите върху нея сочи едновременно към нещо, сочи към позиция в множеството от решенията, и той се съдържа във векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Този вектор ето тук, който ще удебеля със зелено, този вектор, можем да го означим като вектор r, защото този вектор същевременно принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, нали? Той сочи към... ако го направя като позиционен вектор, той сочи към точка от правата, която представлява векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Всички членове на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, сочат към точки от тази права. Но същевременно, той сочи и към точка ето тук, която принадлежи на множеството на решенията. Обърни внимание, че това е единственият вектор във векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, който сочи към точка, която принадлежи на множеството на решенията. Ако го разгледаш от геометрична гледна точка, всички други решения сочат към всички други точки на тази права. Значи това тук е решение, това ето тук е решение, това тук е решение. Всички тези вектори, които сочат към решения от множеството на решенията, което е тази права, всички те са решения. Но "най-късото" решение е този зелен вектор. Зеленият вектор е ортогонален на нея, защото той принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Тази права има същия наклон като нулевото пространство. Тя е ортогонална, това е един вид най-късото разстояние за да достигнем до множеството с решенията. За този конкретен пример, можем всъщност да определим кой е този най-къс вектор r. Имаме вектор [3;0] тук, нали? Вектор [3;0] е този тук. Ако вземем вектор [3;0] минус нашия вектор – да кажем, че той е r. Ще го запиша по следния начин. Нашият вектор r, специалното най-късо решение, ще принадлежи на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете. Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-стълбовете е линейната обвивка на вектор [3;–2]. Значи ще е равно на някаква мащабирана версия на вектор [3;–2]. Ние знаем, че вектор [3;0] сочи към някакво друго решение в множеството на решенията. Знаем, че ако намерим разликата между тези два вектора – ако от вектор [3;0] извадим вектор r, какво ще получим? Ще получим този вектор ето тук. Ще го направя в друг цвят. Получаваме този розов вектор ето тук. Този розов вектор не е в стандартно положение, но този розов вектор ще принадлежи на нулевото ни пространство. Този розов вектор ще принадлежи на нулевото пространство. Значи, ако взема вектор [3;0]... минус вектор r, значи минус с по вектор [3;–2], нали? Това ще даде този розов вектор ето тук. А ако ги умножа скаларно, значи този вектор тук... искам да поясня – този вектор е този розов вектор ето тук – той принадлежи на нулевото пространство. Мога да го изместя. Това не е стандартно положение, но ако го направя в стандартна позиция, той ще сочи към нещо от нулевото пространство, което е тази права. Това е в нулевото пространство. Ако го умножа скаларно по някой член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, това произведение ще е равно на 0. Векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, е ортогонално допълнение на нулевото пространство. Ще го умножа скаларно по някой член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Можем просто да вземем базисния вектор за векторно пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Той е член на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете. Ако го умножа по 3.. извинявам се, не исках да го пиша като обикновена дроб – [3;–2]. Ако го умножа по вектор [3; –2], това ще е равно на 0. Да видим можем ли да намерим с. Получаваме... да видим като умножим тези, получаваме тази вътрешна част, този розов вектор тук ще бъде 3 минус, 3 по с, нали? После ще имаме 0 минус –2 по с, значи това е 2 по с. Значи тази част се опростява до ето това. Просто извърших скаларно умножение и после изваждане. После, ако умножим това по базисния вектор на векторното пространство на матрицата А, определено чрез вектор-редовете, по [3; –2], това трябва да е равно на 0. И какво получаваме? Получаваме 3 по 3, което е 9, минус... да видим, 3 по 3... минус 3, или –3 по с, по –2, ще го напиша по следния начин – плюс – ще го направя така. Това вероятно е най-лесната част. Извинявам се, всъщност го правя грешно. Това е първият елемент, значи имаме 3 минус 3 по с, по 3, нали? 3 минус 3 по с – първият елемент тук по първия елемент тук – плюс 2 по с, по –2, е равно на 0. Извърших това скаларно умножение по странен начин. Мисля, че малко пренебрегнах тези два члена. Както и да е, първият член по първия члена, плюс втория член по втория член. Това е скаларното произведение. Това не е матрица. Това са просто първия член и втория член ето тук. И какво получаваме? Имаме 3 по 3 е 9, минус 9 по с, минус 4 по с, равно на 0. Това е 9 минус 13 по с равно на 0. Или получаваме 13, да видим, 9 е равно на 13 по с, или с е равно на 9/13. Ето така намерихме нашия специален вектор r. Казахме, че ако вземем вектор [3;0] и разликата между това и нашия вектор r, тогава ще получим някакъв вектор тук, който принадлежи на нулевото пространство. И ако го умножим скаларно по някакъв член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, ще получим 0. Скаларното произведение е този елемент по този елемент, плюс този елемент по този елемент. И така получихме с е равно на 9/13. Значи нашият специален вектор r, уникалното решение с най-малка дължина, на уравнението А по х = 0 е 9/13 по вектора, по нашия базисен вектор [3;–2], или можем да го представим като 27/13, нали? След това имаме 3 по... и после 2 по 9 е минус 18/13. Това тук е най-късият вектор в нашето векторно пространство, определено чрез вектор-редовете, който удовлетворява това уравнение. Ще го запиша по-добре. Това е уникален член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, който същевременно е векторът с най-малка дължина, който е решение на уравнението А по х = b. Това е пример за това, за което говорихме в предходното видео, и се надявам, че виждаш нагледно защо това е така.