Комбинации от линейни трансформации 2

В последното видео започнахме с една линейна трансформация S, която изобразява от множеството Х, което принадлежи на Rn, в множеството Y. След това имахме друга трансформация, която изобразява от множеството Y в множеството Z. И се запитахме, като имаме тези две линейни трансформации, дали можем да конструираме линейна трансформация, която изобразява директно от множеството Х в множеството Z. И ние дадохме едно определение, казахме, че ще направим нещо, което нарекохме комбинация от трансформацията Т с S. Първо прилагаме трансформацията S на някакъв вектор в множеството Х, за да получим вектор в множеството Y. Това тук е нашият вектор. После прилагаме трансформацията Т към него и отиваме в множеството Z. И го дефинирахме по този начин. Следващият въпрос беше дали това е линейна трансформация. Ние показахме, че то е линейна трансформация, защото отговаря на двете изисквания за това. И понеже е линейна трансформация, ние спряхме в предишното видео, като казахме, че трябва да е възможно да го представим с някакво произведение на матрица с вектор, като това трябва да е матрица l по n, защото изобразяваме от n-мерно пространство, каквото е Х, Х е подмножество на Rn – в l-мерно пространство, понеже Z е подмножество на Rl. В това видео ще се опитаме да конструираме тази матрица. В началото на предното видео ти казах, че Т(х) може да се представи като произведението на матрица В по вектор х. Ще напиша това и ще го преработя ето тук. Казах ти, че линейната трансформация Т, приложена към някакъв вектор х може да се представи като произведение на матрица с вектор, матрица В по вектор х. И понеже това е изобразяване от m-мерно пространство в l-мерно пространство, знаем че тази матрица ще има размери l по m. По същия начин казахме, че трансформацията S може да се представи като произведение на матрица с вектор. Можем да кажем, че А е матричното ѝ съответствие, по вектор х. И понеже S е изобразяване от n-мерно пространство в m-мерно пространство, това ще бъде матрица с размери m по n. По определение, какво представлява комбинацията на T със S? Какво е това? По определение казахме, че това е равно на – първо прилагаме линейната трансформация S към вектор х. Ще сменя цветовете произволно. Значи първо прилагаме трансформацията S към х. И така получаваме вектор ето тук. Това е просто един вектор в Rm. Всъщност това е вектор в множеството Y, което е подмножество на Rm. После прилагаме трансформацията Т към този вектор и отиваме в множеството Z. Като знаем това, можем да използваме представяне като матрица, за да заменим този вид представяне на трансформацията, макар че те реално са едно и също нещо. Какво представлява трансформацията S, приложена към х? Това тук е А по х, като А е матрица m по n. Можем да кажем, че това е равно на трансформацията Т, приложена към А по х. А какво представлява трансформацията Т, приложена към произволен вектор х? Това е матрицата В по нашия вектор х. Значи това нещо тук ще е равно на В по това, което сложа тук. Значи матрицата В по матрицата А по вектор х, ето тук. Това представлява нашата комбинация от трансформации. Комбинацията на Т със S, приложена към вектор х. Тя ни отвежда от множеството Х чак до множеството Z е ето това, ако използваме матричното представяне на двете трансформации. В края на предишното видео казах, че искам да намеря някаква матрица, такава, че ако я умножа по този вектор, това да е еквивалентно на тази трансформация. И аз знам, че мога да намеря такава матрица. Знам, че тя съществува, защото това е линейна трансформация. Как можем да направим това? Просто ще направим това, което сме правили досега. Започваме с единичната матрица, и прилагаме трансформацията към всеки вектор-стълб на тази единична матрица. След което ще сме представили като матрица самата трансформация. Първо да определим размерите на тази единична матрица. Тези вектори, които са на входа на нашата трансформация, те са подмножества на Х, те принадлежат на Х, което е n-мерно пространство, Х е подмножество на Rn. Значи, за да намерим С, трябва да започнем с единичната матрица. n-мерна единична матрица, защото множеството на първообразите ни е Rn. Ние знаем как изглежда тя. Имаме 1, 0, чак до долу. Това ще бъде матрица n по n, после имаме 0,1, и 0 чак до долу. Тези нули тук, и после имаме 1 надолу по стълбовете, а всичко останало е нули. Виждали сме го много пъти – как изглежда единичната матрица, има единици отгоре вляво до долу вдясно. За да намерим С, матрицата, която представя нашата трансформация, трябва само да приложим трансформацията към всеки от тези стълбове. Можем да напишем, че нашата матрица С е равна на трансформацията, приложена на първия стълб. Каква е тази трансформация? Това е матрицата В по матрицата А, по това, което се подлага на трансформация. В този случай ние трансформираме ето това. Взимаме трансформацията на 1;0;0 и така нататък до долу. Това е единица, последвана от много нули. Това ще бъде първият стълб на С. Вторият стълб на С ще бъде В по А по втория стълб на единичната матрица. Сигурно си спомняш, че всички тези представляват стандартните базисни вектори на Rn. вектор е1, вектор е2, би трябвало да имат шапки, защото са единични вектори, но ти вече знаеш това. Значи това ще бъде по е2, което е 0;1;0... и така нататък само нули надолу. И после продължаваме да правим същото, докато стигнем до последния стълб, който е В по А по всички тези 0, чак до долу, където има 1. Само този n-ти член тук е 1. И на какво ще е равно това? В момента изглежда доста сложно. Но просто трябва да разберем, че – виждали сме това много пъти. Ако запишем вектор А или ако запишем матрицата А просто като съвкупност от вектор-стълбове. Това е вектор-стълбът а1, а2, и така чак до аn. Вече знаем, че това е матрица n по m. И колко е този вектор а по, например х1, х2, и така нататък до xn. Виждали сме го много пъти. Това е равно на х1 по а1, плюс х2 по а2, и така нататък, до плюс xn по аn. Виждали сме това много пъти. Това е линейна комбинация на тези вектор-стълбове, като коефициентите са компонентите на нашия вектор, по който умножаваме. Като знаем това, до какво ще опростим това? Това ще стане а1 по този първи елемент ето тук, по х1, плюс а2 по втория елемент, плюс а3 по този трети елемент. Но всички останали елементи са нули. Всичко от х2 до xn са нули. Значи ще ни остане само 1 по първия стълб ето тук в А. Значи това се опростява до – ще го напиша – С ще е равно на – първият стълб ще бъде В по – сега а по този вектор е1, предполагам, че мога да го нарека така, като това тук ще бъде 1 по първия стълб на А, плюс 0 по втория стълб на А, плюс 0 по третия стълб. Значи имаме 1 само по първия стълб на А. Значи е само а1. Това е лесно. И на какво ще е равно това? Ще бъде равно на 0 по първия стълб на А, плюс 1 по втория стълб на А, плюс 0 по третия стълб на А1, и останалите са само 0. Значи това ще бъде 1 по втория стълб на А. Значи вторият стълб на нашата матрица на трансформацията е просто В по а2. Предполагам, че вече схвана идеята. Следващият ще бъде В по а3 и така нататък до В по аn. Ето по този начин намираш матрицата на трансформацията. Спомни си какво се опитваме да направим. Опитваме се да намерим някаква... ще го запиша, и ще обобщя всичко, което направихме дотук. Имаме изобразяване S, което е изобразяване от Х в Y. Но Х е подмножество на Rn. Y е подмножество на Rm. И казахме, че тази линейна трансформация може да бъде представена като някаква матрица А, която е с размери m по n, по вектор х. После показах друга трансформация, която нарекохме Т, която е изобразяване от Y в Z. Z е подмножество на Rl. И, разбира се, трансформацията Т прилагаме към някакъв вектор в Y, което може да се представи като някаква матрица В по този вектор. Не трябваше да слагам скоби тук, но ти разбираш какво имам предвид. И това, понеже е изобразяване от подмножество на Rm в Rl, това ще е матрица l по m. И после казваме, че ако всъщност вземем комбинация на трансформациите Т със S на някакъв вектор от множеството Х, това се опростява до В. Първо приложихме трансформацията S. Умножихме матрицата А по вектор х. После приложихме трансформацията Т към това. Просто умножихме матрицата В по това. Знаем, че това е линейна трансформация, което означава, че може да се представи като произведение на матрица с вектор. И намерихме това произведение на матрица с вектор. Това ще бъде равно на матрицата С по х, което е равно на това нещо тук, което е равно на това ето тук. Което е равно на – ще го напиша по следния начин – В по а1, като а1 е първият вектор-стълб на нашата матрица А. След това вторият вектор-стълб тук ще бъде В... после имаме а2, като това е вторият вектор-стълб на А. И можеш да продължиш така чак до В по аn, по х, разбира се... може би трябваше да е виолетово... по х. Добре. Винаги можем да направим това, когато имаме някаква матрица. Спомни си, че това е матрица l по m. После имаме друга матрица, която е матрица m по n, винаги мога да направя това. Откъде знам, че винаги мога да направя това? Защото всеки от тези стълбове а има m елемента, нали? Те ще бъдат аi. Всички те принадлежат на нашето Rm. Това е добре дефинирано. Тук има m стълба. Тук има m елемента. Значи всяко от тези произведения на матрица с вектор е добре дефинирано. Това е интересно, защото ние успяхме да намерим действителното представяне като матрица на тази комбинация от трансформации. Да отидем още по-далеч. Няма ли да е хубаво, ако това е същото нещо като матрицата В по матрицата А, цялото това по вектор х? Нямаше ли да е хубаво, ако тези са еквивалентни? Защото тогава ще можем да кажем, че комбинацията от трансформациите Т със S на вектор х е равна на съответната матрица В по съответната матрица на S. И намираме произведението на тези две матрици. При това ще получим нова матрица, която представя това, която ще наречем С. И тогава можем да я умножим по х. Тогава не е нужно да го правиш поотделно всеки път, или да го правиш по този начин. Предполагам, че реално нищо не може да ни попречи да дефинираме това като равно на В по А. Още не сме дефинирали какво представлява произведението на матрица с матрица. Но бихме могли. Това е доста добра причина да го дефинираме по този начин. Ще дам това определение. Да дефинираме... Ако имаме една матрица В – не е задължително да я показвам – като В е матрица l по m. После ако имаме друга матрица А – аз всъщност ще покажа как изглежда матрицата А, която има тези вектор-стълбове. а1, а2 и така нататък до an. И ще дефинираме това произведение. Това е определението: Ще дефинираме произведението на матриците В по А да е равно на матрицата В по всеки от вектор-стълбовете на А. Значи това е В по а1. Това е първият стълб. Това ще бъде В по а2. и така нататък до В по an. Това ти е познато от часовете по алгебра, но причината да се занимаваме с това в предните две видеа преди да стигнем дотук, е че ти показвам логиката произведението на две матрици да се дефинира по този начин. Защото така представянето на комбинацията от трансформации е много логично. Ако вземеш комбинацията на две линейни трансформации, получената матрица на трансформацията е просто произведението им, както току-що го дефинирах, или произведението на техните две матрици на трансформацията. Ако нямаш много опит в умножението на матрици, и ако това ти се струва много абстрактно, в следващото видео ще разгледаме доста примери и ще покажем, че това определение всъщност е много лесно.