В последното видео научихме
какво представлява произведението на две матрици. Ако имам една матрица А,
която е с размери m х n, и ако имаме друга матрица В, която е с размери n х k, дефинирахме произведението
на матриците А по В като.... Всъщност преди да дефинирам
произведението, ще запиша матрицата В като
съвкупност от вектор-стълбове. Знаем, че В може да се
представи като вектор-стълб b1, друг вектор-стълб b2,
и така нататък имаме k такива, защото
има точно k стълба, значи bk. В последното видео дефинирахме
произведението на А и В – за да може то да се дефинира броят на
стълбовете на матрицата А трябва да е равен на броя
на редовете на матрицата В. Ние дефинирахме това
произведение да е равно на А по всеки вектор-стълб
на матрицата В. Значи това е равно на...
ще се върна към този цвят отново – това е равно на А по...
ще го направя със същия цвят – А по b1, а после вторият
стълб е произведението на А по b2. Третото произведение е равно
на А по b3, и така нататък, до А по bk. Ето така. Причината за това,
което вероятно вече ти е познато, може би
от часовете по алгебра – вероятно не е било
дефинирано точно по този начин, но е еквивалентно на това, което
ти е познато от часовете по алгебра – хубавото нещо в
това определение е, че обяснението на това е
комбинацията на две линейни трансформации, чиито
трансформационни матрици са матриците А и В. Показах ти това в
предишното видео. Като казахме това, сега да
пресметнем няколко произведения на матрици, за да
можеш да го разбереш. Да кажем, че имаме
матрицата А. Нека А да е равна на
матрицата [1; –1; 2;0;–2;1]. Искам числата да са малки,
за да бъдат по-лесни пресмятанията. Нека да имаме и
матрицата В, която е равна на
[1;0;1;1;2;0;1;–1;3;1;0;2]. Значи А е матрица 2 х 3,
2 реда и 3 стълба. Матрицата В е 3 х 4. Съгласно определението –
колко е произведението А по В? Знаем, че това произведение
е дефинирано, защото броят на стълбовете тук
е равен на броя на редовете, така че можем да намерим
тези произведения на матрица с вектор – ще видиш след малко – така че
А по В е равно на матрицата А по вектор-стълба [1; 2; 3]. Това ще бъде първият стълб
на новата матрица-произведение. Вторият стълб ще бъде
матрицата А по вектор-стълба [0; 0; 1]. Третият стълб ще бъде
матрицата А по вектор-стълба [1;1;0]. След това четвъртият стълб
в нашето произведение ще бъде матрицата А по вектор-
стълба [1; –1;2]. И това, когато го напишем
по този начин, изглежда очевидно защо трябва да е така,
защо броят на стълбовете на А трябва да е равен на броя
на редовете на В, защото вектор-стълбовете на В трябва
да имат същия брой елементи, колкото са редовете на В, така че
всички вектор-стълбове на В – ако означим тези като b1, b2, b3, b4
и така нататък bi – ще го запиша така – всички
bi, където i може да е 1, 2, 3 или 4, всички
те принадлежат на R3. Така че имаме дефинирани
произведения на матрица с вектор, когато броят на стълбовете в
матрицата е еквивалентен на размерността на векторите. Ето защо този брой
и този брой трябва да са равни. Добре, ние вече сведохме
произведението на матрица с матрица до четири различни задачи за
произведение на матрица с вектор, така че можем просто
да извършим умножението. Това не е нещо ново,
хайде да го направим. На какво е равно това? Значи А по В – ще го препиша –
А по В, произведението с вектор, е равно на – този първият
стълб е матрицата А по вектор-стълба [1;2;3]. Как дефинирахме това? Спомни си, един начин
да го разглеждаме, е, че е равно на... можем да го разглеждаш като... всеки от тези редове умножен
скаларно по стълба на В, или даже още по-добре, това е
някаква транспонирана матрица, нали? Ще го запиша по следния начин. Ако А е равно на – извинявам се –
някакъв транспониран вектор, да кажем, че е равно
на вектор-стълба [0; –1; 2], който транспонираме –
досега не съм говорил много за транспониране, но мисля,
че разбираш идеята. Просто превръщаш всички
стълбове в редове – така че транспонираната
версия ще бъде [0;–1;2]. Просто вектор-стълбът
става вектор-ред. Нарекох това транспониране, тогава, когато умножим матрицата
А по този вектор, тогава всъщност ние просто умножаваме
скаларно А по ето това, по първия ред и първия стълб. Ще го направя по следния начин, ще използвам
следния начин на записване. Значи това ще бъде
матрицата – о, извинявам се, векторът [1; –1;2]. Това реално е този ред
ето тук, представен като стълб, умножен скаларно
по [1;2;3]. Всъщност ще използвам
този цвят, за да мога после да премина на един цвят,
за да се опростят нещата – но умножен скаларно
по [1;2;3]. Значи просто взимаме този ред,
или да кажем еквивалентния стълб на този ред и го
умножаваме скаларно по това. И аз го написах ето така,
защото съм дефинирал само скаларно произведение
на вектор-стълбове. Мога да го направя и с
вектор-редове, но не е нужно да давам ново определение. Значи това ще бъде първият
ни елемент в това произведение на матрица с вектор. Вторият елемент ще бъде
вторият ред на А умножен скаларно по
този вектор ето тук, така че това ще е равно на [0;–2;1]
скаларно умножено по [1;2;3]. И продължаваме по същия начин –
и сега ще премина може би към неутрален цвят –
значи това А по [0;0;1]. Това ще бъде първият ред
на А, изразен като вектор-стълб, така че можем да го напишем
ето така: [1; –1; 2] (.) [0;0;1]. И после тук имаме, всъщност
после имаме нашето, и после вторият ред на А умножен скаларно
по този вектор-стълб, така че имаме [1; –1; 2] (.) [0;0;1]. Остават още два реда. Това може да стане
малко досадно и е неизбежно вероятно да допусна грешка
по невнимание, но ако разбираш процеса, това е
е важното в случая. След това – този ред на А,
изразен като вектор-стълб, [1; –1; 2], който ще умножим
скаларно по този вектор тук, по [1; 1; 0]. След това този ред на А –
мога само да погледна и тук също – [0; –2; 1] умножено
скаларно по [1; 1; 0] . И накрая последните
два елемента ще бъдат горния ред на А, [1; –1; 2]
скаларно умножен по този вектор-стълб [1; –1; 2] –
тук има малка точка, не забравяй, че това е скаларно умножение –
и накрая този втори ред на А, значи [0; –2; 1] умножаваме
скаларно по този вектор-стълб, по [1; –1; 2]. И това е нашата матрица,
която е произведението – това изглежда доста сложно
в момента, но трябва само да го изчислим, и при скаларните
произведения нещата се опростяват – значи нашата матрица –
нашето произведение – до какво се опростява? Ще използвам розово. А по В е равно на –
ще начертая една матрица. Колко е скаларното
произведение на тези двете? Това е 1 по 1. Ще го запиша. Това е 1 по 1, просто
записвам 1 по 1 е 1, плюс –1 по 2, значи –2,
плюс 2 по 3, т.е. плюс 6. Сега ще сметнем този член
ето тук, 0 по 1 е 0, плюс –2 по 2, което
е –4, плюс 1 по 3, значи плюс 3. Сега идваме при този член,
1 по 0 е 0, плюс –1 по 0, става плюс 0, плюс 2 по
1 е равно на плюс 2. Този член е 0 по 0 е 0,
плюс –2 по 0, ще запиша 0, плюс –2 по 0
е 0, плюс 1 по 1. Значи плюс 1, и тук е
1 по 1 е 1, плюс –1 по 1 е минус 1, плюс
2 по 0 е 0, значи плюс 0. Тук е 0 по 1 е 0, –2 по 1
е –2, и накрая 1 по 0 е плюс 0. Почти сме готови. 1 по 1 е 1, –1 по –1
е 1, 2 по 2 е 4; Накрая 0 по 1 е 0,
–2 по –1 е 2. 1 по 2 също е 2. И сме почти на финала, остава само
да съберем тези стойности. Значи нашето скаларно произведение
на двете матрици е равно на матрица 2 х 4; 1 минус 2 плюс 6. Това е равно на 5. Минус 4 плюс 3 е минус 1. Това е просто 2. Това е просто 1. После имаме 1 минус 1, плюс 0,
това е 0, минус 2, нали? Остава само –2 тук;
1 плюс 1 плюс 4 е 6, и после 2 плюс 2 е 4. И сме готови. Произведението на А по В
е равно на тази матрица. Ще взема отново
моите матрици А и В. Можем да разгледаме още
малко какво всъщност представлява това произведение. Ще копирам и ще
поставя това. Ще слеза малко надолу. Тук долу и го поставям. Ето така. Значи това бяха нашите
матрици А и В. Когато ги умножихме,
получихме тази матрица ето тук. Има още няколко неща,
които да забележим. Спомни си, че казах,
че това произведение е дефинирано само тогава,
когато броят на стълбовете на А е равен на броя
на редовете на В. В този случай това
беше изпълнено. След това обърни внимание, че
получихме матрица 2 х 4, което броят на редовете на А
по броя на стълбовете на В. Така получаваме
матрица 2 х 4. Друг естествен въпрос е
дали можем да намерим, произведението В по А
и дали те са равни. Ако трябва да умножим
В по А. Ако опитаме да приложим
определението, тогава на какво е равно това? Това е равно на матрицата В
по този първи стълб [1;0], после матрицата В по
този стълб [–1; –2]. И след това матрицата В
по стълба [2;1]. Можем ли да сметнем това
произведение на матрица с вектор? Имаме 3 х 4 – това тук е
матрица 3 х 4, а това тук принадлежи
на R2. Значи това не е
определено. Имаме повече стълбове,
отколкото са тези елементи, така че не можем да дефинираме произведение
на матрица с вектор по този начин. Така че не само, че това
не е равно на това, то дори не е дефинирано. Не е дефинирано да умножим
една матрица 3 х 4 по една матрица 2 х 4. Не е дефинирано, защото
този брой и този брой не са равни помежду си. И понеже това е дефинирано,
а това не е, тогава А по В не винаги
е равно на В по А. Всъщност, обикновено
не е равно на В по А, и понякога това дори не е
дефинирано. Последната точка, която
искам да отбележа: вероятно си учил/а да умножаваш матрица
по матрица по алгебра, но без никакво обяснение какво
и защо правиш, но сега вече
имаме обяснение. Защото, когато умножаваме
матриците А по В, научихме в последното видео, че
ако имаме две трансформации, да кажем, че имаме
трансформацията S, която е трансформация от
R3 в R2, като S е представена като матрицата... Значи S, дадена е някаква
матрица в R3, и ако приложим трансформацията S към нея,
това е еквивалентно да умножим това, или ако имаме някакъв
вектор в R3, прилагането на трансформацията S е
еквивалентно да умножим този вектор по А. Можем да кажем това. Използвах R3 и R2, защото
броят на стълбовете в А е 3, така че прилагаме към
тримерен вектор. По същия начин, можем
да си представим В като матрицата на трансформацията за някаква
трансформация Т, която е изобразяване от R4 в R3, където
ако имам някакъв вектор х в R4, ще получа – умножаваме
това и В, и ще получим някакъв
вектор в R3. Сега, ако мислим за
комбинацията на двете – да помислим малко –
ако имаме тук R4, ще сменя цветовете – имаме
R4 тук, тук имаме R3, и после тук имаме R2. Т е трансформация от
R4 в R3. Значи Т ще изглежда ето така. Т е трансформация
и тя е В по х. Това е на какво е равно Т,
значи Т е тази трансформация. После S е трансформация
от R3 в R2. Значи S изглежда ето така. S е еквивалентна на
А по произволен вектор в R3, значи това е S. Сега знаем как да визуализираме
или как да разсъждаваме какво представлява
произведението на А по В. Произведението на А по В
е по същество – прилагаме първо трансформацията В –
значи ще разгледам – комбинацията на S –
ще го запиша по следния начин – какво представлява
комбинацията на S и Т? Това е равно на...
равно е на S(Т(х)). Значи взимаме трансформация
от R4 в R3, а после взимаме трансформацията S от
R3 в R2, значи това е S(T). S(T) е трансформация
от R4 чак до R2. Хубавото за това е, че
ако трябва да представиш това като матрица – правихме това
в предишното видео – това ще е равно на
матрицата А на S по този вектор ето тук,
който е В по х. Но ние знаем, че матрицата –
съгласно определението за произведение на матрица
с вектор – това тук ще бъде трансформирано. Това ще е равно на –
значи комбинацията S(T(х)) ще е равна на
матрицата А по В въз основа на определението, така че
трансформацията АВ по някакъв вектор х. Причината да правя
всичко това, е защото току-що изчислих произведението
на матрица по матрица тук. Направихме си труда да
умножим матрицата А по матрицата В и получихме
тази стойност тук – и се надявам, че не съм допуснал грешки
от невнимание. Важното нещо тук е – вероятно
не си го срещал/а в часовете по алгебра, това е матрицата на комбинацията
от трансформациите S и Т. Ето това тук е матрицата
на комбинацията от S и Т. Така че няма на сляпо
да извършваш умножението – умножаването на матрица по матрица
може да е много скучно, но сега ще знаеш защо го правиш. Това всъщност е
комбинация от две трансформации, където А
и В са трансформационните матрици за всяка от двете
линейни трансформации. Надявам се, че това
ти беше полезно.