If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Примери за произведение на матрици

Пример за намиране на произведението на две матрици. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последното видео научихме какво представлява произведението на две матрици. Ако имам една матрица А, която е с размери m х n, и ако имаме друга матрица В, която е с размери n х k, дефинирахме произведението на матриците А по В като.... Всъщност преди да дефинирам произведението, ще запиша матрицата В като съвкупност от вектор-стълбове. Знаем, че В може да се представи като вектор-стълб b1, друг вектор-стълб b2, и така нататък имаме k такива, защото има точно k стълба, значи bk. В последното видео дефинирахме произведението на А и В – за да може то да се дефинира броят на стълбовете на матрицата А трябва да е равен на броя на редовете на матрицата В. Ние дефинирахме това произведение да е равно на А по всеки вектор-стълб на матрицата В. Значи това е равно на... ще се върна към този цвят отново – това е равно на А по... ще го направя със същия цвят – А по b1, а после вторият стълб е произведението на А по b2. Третото произведение е равно на А по b3, и така нататък, до А по bk. Ето така. Причината за това, което вероятно вече ти е познато, може би от часовете по алгебра – вероятно не е било дефинирано точно по този начин, но е еквивалентно на това, което ти е познато от часовете по алгебра – хубавото нещо в това определение е, че обяснението на това е комбинацията на две линейни трансформации, чиито трансформационни матрици са матриците А и В. Показах ти това в предишното видео. Като казахме това, сега да пресметнем няколко произведения на матрици, за да можеш да го разбереш. Да кажем, че имаме матрицата А. Нека А да е равна на матрицата [1; –1; 2;0;–2;1]. Искам числата да са малки, за да бъдат по-лесни пресмятанията. Нека да имаме и матрицата В, която е равна на [1;0;1;1;2;0;1;–1;3;1;0;2]. Значи А е матрица 2 х 3, 2 реда и 3 стълба. Матрицата В е 3 х 4. Съгласно определението – колко е произведението А по В? Знаем, че това произведение е дефинирано, защото броят на стълбовете тук е равен на броя на редовете, така че можем да намерим тези произведения на матрица с вектор – ще видиш след малко – така че А по В е равно на матрицата А по вектор-стълба [1; 2; 3]. Това ще бъде първият стълб на новата матрица-произведение. Вторият стълб ще бъде матрицата А по вектор-стълба [0; 0; 1]. Третият стълб ще бъде матрицата А по вектор-стълба [1;1;0]. След това четвъртият стълб в нашето произведение ще бъде матрицата А по вектор- стълба [1; –1;2]. И това, когато го напишем по този начин, изглежда очевидно защо трябва да е така, защо броят на стълбовете на А трябва да е равен на броя на редовете на В, защото вектор-стълбовете на В трябва да имат същия брой елементи, колкото са редовете на В, така че всички вектор-стълбове на В – ако означим тези като b1, b2, b3, b4 и така нататък bi – ще го запиша така – всички bi, където i може да е 1, 2, 3 или 4, всички те принадлежат на R3. Така че имаме дефинирани произведения на матрица с вектор, когато броят на стълбовете в матрицата е еквивалентен на размерността на векторите. Ето защо този брой и този брой трябва да са равни. Добре, ние вече сведохме произведението на матрица с матрица до четири различни задачи за произведение на матрица с вектор, така че можем просто да извършим умножението. Това не е нещо ново, хайде да го направим. На какво е равно това? Значи А по В – ще го препиша – А по В, произведението с вектор, е равно на – този първият стълб е матрицата А по вектор-стълба [1;2;3]. Как дефинирахме това? Спомни си, един начин да го разглеждаме, е, че е равно на... можем да го разглеждаш като... всеки от тези редове умножен скаларно по стълба на В, или даже още по-добре, това е някаква транспонирана матрица, нали? Ще го запиша по следния начин. Ако А е равно на – извинявам се – някакъв транспониран вектор, да кажем, че е равно на вектор-стълба [0; –1; 2], който транспонираме – досега не съм говорил много за транспониране, но мисля, че разбираш идеята. Просто превръщаш всички стълбове в редове – така че транспонираната версия ще бъде [0;–1;2]. Просто вектор-стълбът става вектор-ред. Нарекох това транспониране, тогава, когато умножим матрицата А по този вектор, тогава всъщност ние просто умножаваме скаларно А по ето това, по първия ред и първия стълб. Ще го направя по следния начин, ще използвам следния начин на записване. Значи това ще бъде матрицата – о, извинявам се, векторът [1; –1;2]. Това реално е този ред ето тук, представен като стълб, умножен скаларно по [1;2;3]. Всъщност ще използвам този цвят, за да мога после да премина на един цвят, за да се опростят нещата – но умножен скаларно по [1;2;3]. Значи просто взимаме този ред, или да кажем еквивалентния стълб на този ред и го умножаваме скаларно по това. И аз го написах ето така, защото съм дефинирал само скаларно произведение на вектор-стълбове. Мога да го направя и с вектор-редове, но не е нужно да давам ново определение. Значи това ще бъде първият ни елемент в това произведение на матрица с вектор. Вторият елемент ще бъде вторият ред на А умножен скаларно по този вектор ето тук, така че това ще е равно на [0;–2;1] скаларно умножено по [1;2;3]. И продължаваме по същия начин – и сега ще премина може би към неутрален цвят – значи това А по [0;0;1]. Това ще бъде първият ред на А, изразен като вектор-стълб, така че можем да го напишем ето така: [1; –1; 2] (.) [0;0;1]. И после тук имаме, всъщност после имаме нашето, и после вторият ред на А умножен скаларно по този вектор-стълб, така че имаме [1; –1; 2] (.) [0;0;1]. Остават още два реда. Това може да стане малко досадно и е неизбежно вероятно да допусна грешка по невнимание, но ако разбираш процеса, това е е важното в случая. След това – този ред на А, изразен като вектор-стълб, [1; –1; 2], който ще умножим скаларно по този вектор тук, по [1; 1; 0]. След това този ред на А – мога само да погледна и тук също – [0; –2; 1] умножено скаларно по [1; 1; 0] . И накрая последните два елемента ще бъдат горния ред на А, [1; –1; 2] скаларно умножен по този вектор-стълб [1; –1; 2] – тук има малка точка, не забравяй, че това е скаларно умножение – и накрая този втори ред на А, значи [0; –2; 1] умножаваме скаларно по този вектор-стълб, по [1; –1; 2]. И това е нашата матрица, която е произведението – това изглежда доста сложно в момента, но трябва само да го изчислим, и при скаларните произведения нещата се опростяват – значи нашата матрица – нашето произведение – до какво се опростява? Ще използвам розово. А по В е равно на – ще начертая една матрица. Колко е скаларното произведение на тези двете? Това е 1 по 1. Ще го запиша. Това е 1 по 1, просто записвам 1 по 1 е 1, плюс –1 по 2, значи –2, плюс 2 по 3, т.е. плюс 6. Сега ще сметнем този член ето тук, 0 по 1 е 0, плюс –2 по 2, което е –4, плюс 1 по 3, значи плюс 3. Сега идваме при този член, 1 по 0 е 0, плюс –1 по 0, става плюс 0, плюс 2 по 1 е равно на плюс 2. Този член е 0 по 0 е 0, плюс –2 по 0, ще запиша 0, плюс –2 по 0 е 0, плюс 1 по 1. Значи плюс 1, и тук е 1 по 1 е 1, плюс –1 по 1 е минус 1, плюс 2 по 0 е 0, значи плюс 0. Тук е 0 по 1 е 0, –2 по 1 е –2, и накрая 1 по 0 е плюс 0. Почти сме готови. 1 по 1 е 1, –1 по –1 е 1, 2 по 2 е 4; Накрая 0 по 1 е 0, –2 по –1 е 2. 1 по 2 също е 2. И сме почти на финала, остава само да съберем тези стойности. Значи нашето скаларно произведение на двете матрици е равно на матрица 2 х 4; 1 минус 2 плюс 6. Това е равно на 5. Минус 4 плюс 3 е минус 1. Това е просто 2. Това е просто 1. После имаме 1 минус 1, плюс 0, това е 0, минус 2, нали? Остава само –2 тук; 1 плюс 1 плюс 4 е 6, и после 2 плюс 2 е 4. И сме готови. Произведението на А по В е равно на тази матрица. Ще взема отново моите матрици А и В. Можем да разгледаме още малко какво всъщност представлява това произведение. Ще копирам и ще поставя това. Ще слеза малко надолу. Тук долу и го поставям. Ето така. Значи това бяха нашите матрици А и В. Когато ги умножихме, получихме тази матрица ето тук. Има още няколко неща, които да забележим. Спомни си, че казах, че това произведение е дефинирано само тогава, когато броят на стълбовете на А е равен на броя на редовете на В. В този случай това беше изпълнено. След това обърни внимание, че получихме матрица 2 х 4, което броят на редовете на А по броя на стълбовете на В. Така получаваме матрица 2 х 4. Друг естествен въпрос е дали можем да намерим, произведението В по А и дали те са равни. Ако трябва да умножим В по А. Ако опитаме да приложим определението, тогава на какво е равно това? Това е равно на матрицата В по този първи стълб [1;0], после матрицата В по този стълб [–1; –2]. И след това матрицата В по стълба [2;1]. Можем ли да сметнем това произведение на матрица с вектор? Имаме 3 х 4 – това тук е матрица 3 х 4, а това тук принадлежи на R2. Значи това не е определено. Имаме повече стълбове, отколкото са тези елементи, така че не можем да дефинираме произведение на матрица с вектор по този начин. Така че не само, че това не е равно на това, то дори не е дефинирано. Не е дефинирано да умножим една матрица 3 х 4 по една матрица 2 х 4. Не е дефинирано, защото този брой и този брой не са равни помежду си. И понеже това е дефинирано, а това не е, тогава А по В не винаги е равно на В по А. Всъщност, обикновено не е равно на В по А, и понякога това дори не е дефинирано. Последната точка, която искам да отбележа: вероятно си учил/а да умножаваш матрица по матрица по алгебра, но без никакво обяснение какво и защо правиш, но сега вече имаме обяснение. Защото, когато умножаваме матриците А по В, научихме в последното видео, че ако имаме две трансформации, да кажем, че имаме трансформацията S, която е трансформация от R3 в R2, като S е представена като матрицата... Значи S, дадена е някаква матрица в R3, и ако приложим трансформацията S към нея, това е еквивалентно да умножим това, или ако имаме някакъв вектор в R3, прилагането на трансформацията S е еквивалентно да умножим този вектор по А. Можем да кажем това. Използвах R3 и R2, защото броят на стълбовете в А е 3, така че прилагаме към тримерен вектор. По същия начин, можем да си представим В като матрицата на трансформацията за някаква трансформация Т, която е изобразяване от R4 в R3, където ако имам някакъв вектор х в R4, ще получа – умножаваме това и В, и ще получим някакъв вектор в R3. Сега, ако мислим за комбинацията на двете – да помислим малко – ако имаме тук R4, ще сменя цветовете – имаме R4 тук, тук имаме R3, и после тук имаме R2. Т е трансформация от R4 в R3. Значи Т ще изглежда ето така. Т е трансформация и тя е В по х. Това е на какво е равно Т, значи Т е тази трансформация. После S е трансформация от R3 в R2. Значи S изглежда ето така. S е еквивалентна на А по произволен вектор в R3, значи това е S. Сега знаем как да визуализираме или как да разсъждаваме какво представлява произведението на А по В. Произведението на А по В е по същество – прилагаме първо трансформацията В – значи ще разгледам – комбинацията на S – ще го запиша по следния начин – какво представлява комбинацията на S и Т? Това е равно на... равно е на S(Т(х)). Значи взимаме трансформация от R4 в R3, а после взимаме трансформацията S от R3 в R2, значи това е S(T). S(T) е трансформация от R4 чак до R2. Хубавото за това е, че ако трябва да представиш това като матрица – правихме това в предишното видео – това ще е равно на матрицата А на S по този вектор ето тук, който е В по х. Но ние знаем, че матрицата – съгласно определението за произведение на матрица с вектор – това тук ще бъде трансформирано. Това ще е равно на – значи комбинацията S(T(х)) ще е равна на матрицата А по В въз основа на определението, така че трансформацията АВ по някакъв вектор х. Причината да правя всичко това, е защото току-що изчислих произведението на матрица по матрица тук. Направихме си труда да умножим матрицата А по матрицата В и получихме тази стойност тук – и се надявам, че не съм допуснал грешки от невнимание. Важното нещо тук е – вероятно не си го срещал/а в часовете по алгебра, това е матрицата на комбинацията от трансформациите S и Т. Ето това тук е матрицата на комбинацията от S и Т. Така че няма на сляпо да извършваш умножението – умножаването на матрица по матрица може да е много скучно, но сега ще знаеш защо го правиш. Това всъщност е комбинация от две трансформации, където А и В са трансформационните матрици за всяка от двете линейни трансформации. Надявам се, че това ти беше полезно.