Детерминантата като мащабиращ коефициент

Ще начертая координатна система в R2. Ще се опитам да я направя старателно. Искам да е по-хубаво от това. Това е вертикалната ос, а това е хоризонталната ос. Добре. Да кажем, че имаме четири точки в R2, които са определени от четири позиционни вектори. Значи това тук е R2. Първият позиционен вектор е нулевият вектор. Той определя тази точка тук, точката (0;0). Втората точка се определя, да кажем, от вектора [k1;0], някаква константа и 0. Ще го запиша малко по-спретнато от това, малко по-едро. Значи това е [k1;0], вторият позиционен вектор, който определя тази точка ето тук. Ще построя нашия вектор ето тук. Нека третата точка да е ето тук. Както виждаш, аз правя един правоъгълник. Да кажем, че е определена от позиционен вектор. Ще начертая позиционния вектор ето така. Позиционният вектор ще е векторът k1. Това е хоризонталната му компонента, и после k2 е вертикалната му компонента. Ако искаме да я начертаем върху координатните оси, това ще е координатата k2 ето тук. Да кажем, че последната точка е ето тук и се определя от позиционния вектор [0;k2]. Ще дефинирам едно множество. Ще го нарека правоъгълник, R като правоъгълник на английски. Ще го нарека Rec. Да кажем, че този правоъгълник е равен на множеството от всички точки, които се получават, когато свържем точките, определени от тези позиционни вектори. Значи правоъгълникът, образуван при свързването на точките, определени от тези вектори. Ще означа този вектор като вектор а, това е вектор b, това е вектор с, и накрая това тук е вектор d. Значи правоъгълникът е определен при свързването на точките a, b, c и d. Да кажем, че... ще начертая как ще изглежда нашето множество-правоъгълник. Това ще бъдат всички тези точки, всички точки ето тук, всички точки тук и накрая всички точки тук, включително върховете. Това е нашият правоъгълник. Колко е площта на този правоъгълник? Това ето тук е площта на правоъгълника. Колко е тази площ на правоъгълника? Тя е просто основата по височината. Основата има дължина k1. Разстоянието от тук до тук е k1, значи основата е k1. А колко е височината? Тя е разстоянието от тук до тук, което е просто k2. Значи площта е k1 по k2. Това е много лесно. Не ти показвам нищо, което да те изненада досега. Но нека да кажем, че трансформираме това множество. Ще трансформираме този правоъгълник и това ще стане с помощта на трансформацията Т. Ще избера хубав цвят за Т. Да кажем, че имаме трансформацията Т. Това е изобразяване от R2 в R2, което може да се представи като... когато прилагаме трансформацията Т към някакъв вектор х, това е равно на матрицата [a;b;c;d] по вектора х, ето така. Сега да видим какво ще се случи, когато приложим трансформацията към всяка от тези точки. Преди доста уроци видяхме, че ако търсим образа на този правоъгълник при тази трансформация, можем всъщност да я приложим към всяка една от крайните точки и после да ги свържем в множеството на образите, което също ще бъде в R2. Само трябва да намерим образите при трансформацията на всяка от тези точки. Каква е нашата трансформация? Ще я направя ето тук. Ще използвам съответните цветове. Какво представлява трансформацията, приложена към нулевия вектор, приложена към тази точка а ето тук? Това ще е просто а по 0 плюс b по 0, което е просто 0. След това вторият член ще бъде с по 0 плюс d по 0, което също е нула. Това е вектор а. Вектор b. Ако приложим трансформацията към вектор b, той е [k1;0]. Ако приложим трансформацията, това ще стане а по k по... значи първият елемент на трансформирания вектор или на образа в множеството на образите ще бъде а по k1 плюс b по 0, или само а по k1. После вторият елемент ще бъде с по k1 плюс d по 0. Това ще бъде с по k1. Просто умножавам тази матрица с този вектор. Сега да отидем при точка с. Трансформацията на точка с, [k1;k2] е равна на... или трансформацията на вектор с, можем да кажем, е равна на какво? Първият елемент ще бъде а по k1 плюс b по k2. Вторият елемент ще бъде с по k1 плюс d по k2. Остана ни една точка. Трансформацията – ако вземем трансформацията на вектор [0;k2], какво ще получим? Получаваме а по 0 плюс b по k2, което е просто b по k2, после имаме с по 0 плюс d по k2, което е просто d по k2. Ще начертая образа на нашия правоъгълник след трансформацията. Ще направя отново координатните оси. Това е вертикалната ос. Това е хоризонталната ос. Вектор а се изобразява в нулевия вектор ето тук. Значи това е трансформацията на [0;0], ето така. Сега как се трансформира вектор b? Вектор b се трансформира до [ak1;ck1], затова ще го начертая ето така. Вектор b се трансформира във вектор, който изглежда така, като този вектор – значи това е трансформацията на [k1;0], която е равна на [ak1;ck1]. Вече видяхме това. А в какво се трансформира този жълт вектор? Но първо ще направя синия вектор, който се трансформира ето тук. Ще завърша ето тук. Ако дойдем тук долу, това ще бъде a по k1, ето така. . Ако отидем наляво ето така, това ще бъде с по k1. Ето така го чертаем. И сега последния вектор, този синият, може би ще изглежда ето така. Това е образът на този вектор ето тук при линейна трансформация, [0;k2], което е равно на вектор [bk2;dk2], значи тази точка тук е bk2 и после тази координата тук е dk2. Сега последният вектор, тази жълта точка, когато я трансформираме, какво ще получим? Взимам ak1 плюс bk2, което ще ни отведе точно тук, така че ето това ще е координатата х. После координатата у е ck1 плюс dk2. Значи ck1 и после добавяме още толкова към него. Значи това ще ни отведе някъде ето тук. Ще добавя това разстояние към това цялото разстояние тук, така че ще се окажа в някаква точка ето тук. Ще дойдем ето точно тук. Значи този вектор ще изглежда приблизително така. Това е трансформацията на [k1;k2]. Това е трансформацията на този вектор тук. След това, ако свържем точките – спомни си – трансформацията на множеството на този правоъгълник, или можем да кажем образът на този правоъгълник при тази трансформация се получава като изобразим всяка точка, която определя правоъгълника, и после свържем тези точки. Видяхме това преди доста време. Сега ще го начертая по този начин. Тази отсечка тук, която свързва тези две точки, ще се трансформира в тази отсечка, която свързва тези две точки ето тук. Тази отсечка – ще използвам различен цвят. Отсечката, която свързва тези две точки, ще бъде изобразена в тази отсечка, която свързва тези две точки. После имаме тази отсечка, която свързва тези две точки, която ще се трансформира в тази отсечка, която свързва тези две точки ето тук. И накрая тази отсечка, която свързва тези две точки, ще се трансформира в тази отсечка, която свързва тези две точки ето тук. Сега, просто от любопитство – ще запиша това. Значи този правоъгълник ето тук е образът. Можем да го запишем като Т от нашия правоъгълник, или ако искаме, можем да го запишем с думи, това е равно на образа на правоъгълника при трансформацията Т. Колко е площта на образа на правоъгълника, получен при трансформацията? Колко е площта на тази фигура тук? Колко е тази площ тука? Можем да го разглеждаме като успоредник, който е образуван от този вектор и този вектор. Ако искаме да го запишем по различен начин, ако имаме матрица, някаква матрица, чиито вектор-стълбове са този вектор и този вектор, да кажем, че първият вектор-стълб е този тук, [ak1;ck1], който е трансформацията на [k1;0]. Вторият вектор-стълб е този вектор тук, който е [bk2;dk2]. Този успоредник е получен от тези два вектор-стълба. Това тук е трансформацията на [0;k2], нали? В последното видео казахме, че площта на този успоредник е равна на... ще го запиша ето тук. Значи площта на успоредника, която е равна на площта на образа на нашия оригинален правоъгълник при трансформацията, площта на успоредника е равна на абсолютната стойност... ще нарека това тук детерминантата, а това ще означа с I за образ (image). Значи е равно на абсолютната стойност на детерминантата на матрицата, чиито вектор-стълбове образуват успоредника. Значи това ще е равно на абсолютната стойност на детерминантата на I. Видяхме го в последното видео. Това ще бъде площта на този правоъгълник. А каква е детерминантата на това? Тя ще е равна на... ще запазя знаците за абсолютна стойност. Значи детерминантата на това ще е равна на ak1 по dk2, което можем да запишем като... ще сменя цвета. Можем да я запишем като |k1;k2;a;d| Аз само умножих този член по този член минус този член по този член. Значи минус k1, k2, bc. Това е просто определението за детерминанта на матрица 2 x 2. Видяхме това в предишното видео. Тук няма нищо ново, или може би е относително ново, ако току-що си гледал/а предишното видео, но аз просто казвам, че ако искаме да определим този успоредник, той се образува от този вектор и този вектор. И ако кажем, че тези два вектора са вектор-стълбове на някаква матрица ето тук, в последното видео видяхме, че площта на този успоредник е равна на абсолютната стойност на детерминантата на тази матрица. И на какво е равно това? Това е равно на... можем да изнесем пред скоби k1 по k2. Значи става абсолютната стойност на k1по k2, по (ad – bc). Това на какво е равно? (ad – bc) е детерминантата на нашия вектор на трансформацията. Ако кажем, че Т(х)... ако наречем този вектор – или нашата матрица на трансформацията. Ако наречем тази матрица А, това е равно на k1 по k2, по детерминантата на А, което е много интересен резултат. Това ни казва, че ако имаме някаква област, или в този случай това е просто един правоъгълник, но ако имаме някаква област в множеството на първообразите и приложим трансформация, като нашата област има някаква площ. Да кажем, че в този случай има площ А. Ще го запиша направо като площ (area). Това е първоначалната площ на първоначалната област, нали? След това прилагаме някаква трансформация към нея, която е равна на някаква матрица А по всеки член на множеството на първообразите. Прилагам някаква трансформация. Получавам някаква нова област. Получавам образ на това множество при тази трансформация. Новата площ ще бъде равна на абсолютната стойност на детерминантата на матрицата на трансформацията. Това е детерминантата на матрицата на трансформацията. Това е матрицата на транформацията. Значи е равна на детерминантата на матрицата на трансформацията по площта на първоначалния правоъгълник, както е в този случай, нали? Това е първоначалният ни правоъгълник. Взимаме абсолютната стойност, просто защото понякога разменяме тези вектори, може да получим отрицателен знак, затова взимаме абсолютната стойност. Това е много интересна идея. Детерминантата на матрицата на трансформацията е всъщност просто мащабиращ множител за площта на дадена област. Няма да го доказвам, но ти можеш да си го представиш. Да кажем, че имаме... да разгледаме общия случай. Нека имаме някаква област в R2 – ще го направя по-добре – ще направя фигура, която ти е позната. Да кажем, че имам нещо такова. Това е елипса, нали? Това е множеството на първообразите. Това е R2. Да кажем, че площта тук, площта на тази област е равна на А. Значи площта е равна на А. Да кажем, че имаме някаква трансформация Т, която изобразява от R2 в R2, и Т е дефинирана, така че Т, приложена към някакъв вектор х в множеството на първообразите е равно на... вече използвах А, нека да е равно на матрицата В по всеки вектор в множеството на първообразите. Ако вземем образа на тази площ при Т, значи това тук е множеството на първообразите. Ще го направя в множеството на образите. Да кажем, че образът на тази област при В – да кажем, че изглежда приблизително така – или образът при Т, да кажем, че изглежда приблизително така. Не знам как ще изглежда, но да кажем, че изглежда приблизително така. Да кажем, че изглежда приблизително така. Значи ето това тук, ако наречем това множество Е като елипса, това е това цялото нещо ето тук. Това е елипсата ето тук. Това е образът на нашата елипса при трансформацията Т. Ако взема всяка точка на тази елипса, мога да конструирам тази тук. Може би, за да запазим аналогията за този пример, да кажем, че елипсата е множеството само от точките на контура, но това всъщност се отнася за цялата област. Значи този контур се изобразява в този контур ето тук. Но това щеше да е вярно и ако разглеждахме цялата тази област. Понеже не правя подробно доказателство, ще трябва да го приемеш на доверие. Значи това е образът на този контур при нашата трансформация. Ако областта, оградена от този контур, или ако кажем площта на тази област е А, тогава тази площ ето тук, площта на образа на нашата елипса при нашата трансформация ще бъде равна на абсолютната стойност на първоначалната площ, ето тази, по детерминантата на матрицата на трансформацията. Ако ти струва, че много рязко прескочихме от трансформацията на един произволен правоъгълник до общи фигури, представи си – значи Т изобразява от тук ето тук. Винаги е полезно да използваме стрелка. Но ако ти се струва, че правим пропуск, като прескачаме от правоъгълник към криви, можеш да си представиш, че тази фигура е изградена от множество произволни правоъгълници. Така че можеш да попълниш повърхността с различни произволни правоъгълници като този, и можеш да ги направиш безкрайно малки, така че напълно да запълнят тази площ. Запълваш изцяло това пространство с правоъгълници. И ако трябва да изобразиш всеки от тези правоъгълници с помощта на Т, всеки от тези правоъгълници ще изглежда ето така. Може би ще изглеждат ето така. Не знам как ще изглеждат. Ще изглеждат като различни успоредници. Може би ще изглеждат ето така. Не чертая много добре. Те ще изглеждат като куп успоредници, и те на практика ще запълнят това пространство ето тук. Това е начин да си представиш как прескачаме от произволен правоъгълник към тези произволни криви или фигури, или области. Но това е много хубав резултат, който е много интересен начин да разглеждаме детерминантата. Детерминантата на една матрица на трансформация е всъщност мащабиращ множител за площта, когато изобразяваме една област в друга област, или когато отиваме от една област в образа на тази област при трансформацията.