Намиране на детерминанта при сумиране на даден ред

Да продължим да разглеждаме нашите детерминанти, за да видим дали можем да получим още полезни резултати. В момента те може и да не ти изглеждат полезни, но ще ги използваме по-късно, когато навлезем в други дялове на линейната алгебра. Нека е дадена една матрица, нека това е матрицата Х. Матрицата Х е равна на... ще започна с пример 3 х 3, защото смятам, че примерът с 2 х 2 е малко тривиален. Всъщност защо да не започнем с пример 2 х 2? Нека матрицата Х да е [a;b;x1;x2]. Можеше тези елементи да са c и d, но ще видиш защо ги означавам като х1 и х2 само след секунди. Нека да имаме друга матрица, матрицата Y, която е идентична на матрицата Х, но без този ред. Значи матрицата Y е [a;b;y1;y2]. Нека имаме и трета матрица Z. Първият ѝ ред е идентичен на първите редове на другите две. Значи a, b. Но вторият ред всъщност е сума от вторите редове на Х и Y. Значи този елемент тук е х1 + y1, а този елемент е x2 + y2. Ето така. Искам да поясня, че матрицата Z не е Х + Y. Не всички елементи на Z са сума от елементите на Х и Y. Това е само за този конкретен ред. И това е нещо общо, което ще виждаш отново и отново, както видяхме и в последното видео, и предполагам, че виждаме тук, а то е, че детерминантите или намирането на детерминантите на матриците не е линейно по отношение на операциите с матрици, а е линейно по отношение на операциите по един ред. В този случай всичко друго е еднакво, освен този ред, Z има същия първи ред като тези две матрици, но вторият ѝ ред е равен на сумата от вторите редове на тези матрици. Да разгледаме какви са зависимостите между детерминантите на тези матрици. Значи детерминантата – ще използвам цвета на Х. Детерминантата на Х – ще я запиша по следния начин – е равна на (а по х2) – (b по х1). Виждали сме това много пъти. Детерминантата на Y е равна на (а по у2) – (b по у1). И детерминантата на Z е равна на а по (х2 + у2) минус b по (х1 + у1), което е равно на а по х2 + а по у2... просто разкриваме скобите – минус b по x1 минус b по y1. Ако просто разместим нещата, това е равно на а по... ще го напиша по следния начин – това е равно на а по х1 минус b по х1. Този член и този член, разменям цветовете. Значи това са тези два члена. После имаме плюс ау2 минус bу1. А какво е това тук? Това е детерминантата на Х. А това е детерминантата на Y. И това е. Ако имаме матрици, които са напълно идентични освен един ред... в този пример матрицата е 2 х 2, така че изглежда, че половината от матрицата... и Z, този ред, който е различен, този ред на Z е равен на сумата от редовете на другите две матрици, тогава детерминантата на Z е равна на сумата от другите две детерминанти. Това е много специален случай. Ще повторя отново. Това важи само тогава, когато само този ред, единствено той е сума от този ред и този ред, а иначе матриците са идентични във всичко друго. Сега ще ти покажа случай 3 х 3, който смятам, че ще бъде малко по-общ. След това ще разгледаме случай n x n. Всъщност n x n е по-лесен до някаква степен, но е твърде абстрактен, така че искам да остане последен. Да превърнем тези матрици в матрици 3 х 3. Да кажем, че Х е равна на a, b, c... да направим третия ред този, който ще използваме за определяне на детерминантата, a, b, c, d, e, f... всъщност ще използвам средния ред, защото не искам да си мислиш, че винаги трябва да използваме последния ред. Значи да кажем, че е х1, х2, х3, и после d, e, f. Каква е детерминантата на Х? Детерминантата на Х ще бъде равна на... да кажем, че използваме този ред ето тук, това е въпросният ред. Ще бъде равна на... спомни си правилото на шахматната дъска – значи това ще е – спомни си, плюс, минус, плюс, минус, плюс, спомни си как върви до края. Значи започваме с минус х1, по детерминантата на подматрицата – зачеркваме този ред и този стълб, остава b, c, e, f. После имаме плюс х2 по детерминантата на подматрицата – зачеркваме този стълб и този ред – a, c, d, f. И последно минус х3 – зачеркваме този ред и стълб – остава a, b, d, e. Сега да дефинираме друга матрица Y, която е идентична на матрицата Х, освен този ред. Значи това е a, b, c. После тук долу d, e, f. Средният ред е различен. Той е у1, у2 и у3. Каква е детерминантата на матрицата Y? Тя ще е идентична на детерминантата на Х, защото всички подматрици ще бъдат еднакви, когато зачеркнем този ред и всеки от тези стълбове. Но коефициентите ще са различни. Вместо х1 ще има у1. Значи ще е равна на –у1 по детерминантата на [b;c;e;f ] плюс у2 по детерминантата на [a;c;d;f] минус у3 по детерминантата на [a;b;d;e]. Мисля, че се досещаш какво ще се случи. Сега ще създам нова матрица. Матрицата Z е равна на... тя е идентична на тези двете по отношение на първия и третия ред, a, b, c, d, e, f. Ето така. Но този ред тук е сумата от този ред и този ред. Когато намираме тази детерминанта, използваме този ред – можеш да видиш ето тук. Значи този ред ето тук ще бъде (х1 + у1), това е първият елемент. (х2 + у2) и после (х3 + у3). И каква ще бъде детерминантата на Z? Можем да я напишем направо тук. Тя ще бъде минус (х1+ у1) по детерминантата на неговата подматрица... зачеркваме този ред и този стълб, получаваме [b;c;e;f]. Сигурен съм, че се досещаш какво ще се случи. Плюс този коефициент, плюс (х2 + у2) по детерминантата на неговата подматрица... зачеркваме този ред и този стълб... a, c, d, f. После имаме минус това тук, х3 плюс у3 по детерминантата на неговата подматрица... зачеркваме този ред и този стълб – a, b, d, e. Сега какво имаме тук? Това е детерминантата на Z. Това тук е детерминантата на Z. Това нещо ето тук. Мисля, че веднага виждаш, че ако бяхме събрали това и това, тогава щяхме да получим това тук, нали? Защото имаме този коефициент и този коефициент на това. Ако ги бяхме събрали, щяхме да получим минус (х1 + у1). Това и това дават това. После, ако бяхме събрали това и това, щяхме да получим ето това. Ще направя още едно. И накрая този член плюс този член дават ето този член. Веднага можеш да видиш, че детерминантата, поне се надявам, че виждаш, че детерминантата на Х плюс детерминантата на Y дават детерминантата на Z. Направихме го за матрица 2 х 2, току-що го направихме за матрица 3 х 3. Можем да го направим също така и за матрица n x n, за да видим, че е вярно. Но логиката е същата като при случая 3 х 3. Добре е да имаме това предвид, защото 3 х 3 е лесно да си го представим, докато n x n е малко по-абстрактно. Затова ще предефинирам моите матрици отново. Просто ще направя същото нещо отново. Ще имам матрица Х. Но това ще е матрица n x n. И да кажем, че... Ще го напиша по следния начин. Да кажем, че е а11, а12, и така нататък до а1n. Тук някъде има един ред, нека да е някъде тук, редът i, ще го означим като ред i, и тук има елементи х1, х2... хn, но всичко друго са просто "а"-та. След това имаме а... ще направя това да е а21, и така нататък до а2n. После, ако слезем надолу до тук, ще имаме an1 и така нататък до ann. Можеш всъщност да си представиш една стандартна матрица, в която всичко е дефинирано като а, но аз замествам реда i с някои членове, които са малко по-различни. Мисля, че се досещаш какво смятам да направя. Сега ще дефинирам другата си матрица. Ще дефинирам матрицата Y. Ще дефинирам матрицата Y, която е принципно същата. Това е а11, съвсем същото а11. Това е а12 и така нататък до а1n. Това е а21 и така нататък до а2n. След това на ред i, същия ред, това е същата матрица n x n, ако тази е 10 х 10, и тази е 10 х 10. Ако този ред е седми, тогава и този ред е седми. В него има различни елементи. Тази матрица е идентична с Х освен ред i. В ред i имаме у1, у2 и така нататък до уn. Като продължим надолу, ще имаме аn1... до аnn. Добре. Да кажем, че имаме и една трета матрица. Ще я направя ето тук. Имаме матрицата Z, която е – предполагам, че се досещаш какво ще направя. Z е идентична на тези две матрици, освен ред i. Ще го запиша. Z изглежда ето така. Имаме а11, а12... а1n. После слизаме надолу и в ред i ще имаме сумата от редовете i на матриците Х и Y. Значи това е (х1 + у1), (х2 + у2) и така нататък до (хn + уn). И после продължаваме надолу, всичко друго е идентично, аn1 чак до аnn. Тези матрици са идентични, освен че редът i на Х е различен от реда i на матрицата Y. Матрицата Z е идентична навсякъде, освен нейният ред i, който е сума от този ред i и този ред i. Това е много конкретен случай, но сега можем да намерим техните детерминанти. Какви са детерминантите? Детерминантата на матрицата Х... надявам се, че не те притеснява записът със знака сигма, използвахме го в последната матрица. Можем да използваме този ред ето тук, и за всеки от тези можем да кажем, че детерминантата ще бъде равна на сумата... Да кажем, че започнем от j = 1... това ще бъде стълбът, така че ще вземем сбора на всички тези елементи, за j = 1 до j = n. След това си спомни за принципа на шахматната дъска, по който определяме дали знакът е положителен или отрицателен. Можем да го разберем, като вземем –1 на степен (i + j)... спомни си, това е ред i, който ни интересува, по xj... xj е коефициент, х с индекс j, по детерминантата на подматрицата на х с индекс j. Ако зачеркнем реда на този елемент и стълба на този елемент, какво ще получим? Ще получим подматрицата, ако наречем този елемент... ще го запиша по този начин – ако зачеркнем този ред и този стълб, ако това беше нашата обичайна матрица, в която този ред не беше заместен – Ако тук имахме аi1, ai2...ain, неговата подматрица щеще да е същото това нещо, защото зачеркваме този ред и този стълб. Така че щяха да са всички тези елементи и всички тези елементи тук долу. Така че щеше да е подматрицата... това е (n – 1) х (n – 1) матрица – щеше да е подматрицата на елемента aij. За първия елемент... извинявам се, детерминантата. Не искам да изпускаме детерминантата тук – по детерминантата на подматрицата на aij. Това е за първия член, след това прибавяме втория член, и после продължаваме по същия начин. Ето това ни показва този сигма запис. Това е детерминантата на Х. А колко е детерминантата на матрицата Y? Детерминантата на Y е равна на сумата... правим същото нещо: за j = 1 до j = n, сумата от (–1) на степен (i + j). Можем да използваме този ред ето тук, ред i. Така че ще имаме у с индекс j – нали, ще започнем с у с индекс 1, после плюс у с индекс 2, по детерминантата на неговата подматрица, която е същата като детерминантата на тази подматрица. Зачеркваме този ред и този стълб за всеки от тези елементи, а всичко останало в матриците е еднакво. Значи aij. Подматрицата на aij. Сега да видим коя е детерминантата на Z. Сигурен съм, че се досещаш какво ще получим. Детерминантата – това тук трябва да е главно Y – детерминантата на Z е равна на сумата от (–1) на степен (i + j) за j = 1 до j = n. Ще използваме този ред. Но сега коефициентите са хj, това са индексите, хj + yj. После по подматрицата, която е същата като тези подматрици. Значи аij, което може би веднага виждаш, че е сумата от тези две неща. Ако за всяко j просто сумираме тези две неща, то ще получим два коефициента – ще имаме този коефициент и този коефициент за члена aij, а после, когато ги съберем, можем да изнесем това пред скоби, и ще получим това тук. Така че получаваме детерминантата на Х плюс детерминантата на Y, което е равно на детерминантата на Z. Надявам се, че така виждаш общия случай. Но искам да е много ясно, че това се отнася за един много конкретен случай, в който трите матрици са идентични напълно, освен в един от редовете си. И че в едната от матриците елементите на този точно ред представляват сума от елементите в точно този ред на другите две матрици, а всичко друго е идентично. Това е единственият случай, в който детерминантите – това е единственият случай, в който можем да изведем общо правило за детерминантата на матрицата Z, която да е равна на детерминатата на Х плюс детерминантата на Y. Това не е случаят, в който – ще го запиша – това не е случай, в който, ако Z е равна на Х плюс Y, не е задължително детерминантата на Z да е равна на детерминантата на Х плюс детерминантата на Y. Не можем да приемем това. Операциите с детерминанти не са линейни при събиране на матрици. Те са линейни само при събиране на определени редове. Надявам се, че смяташ, че това ще ти бъде полезно.