По-лесен начин за намиране на детерминантата на матрица 4 х 4

Дадена ни е тази матрица А с размери 4 х 4. Да видим дали можем да намерим нейната детерминанта, детерминантата на А. И преди да го направим по начина, както го правехме досега, където използваме един от тези редове или стълбове – обърни внимание, че тук няма нули, така че няма лесен ред или лесен стълб, с който да намерим детерминантата. Можем да използваме този ред и да намерим всички подматрици, но това ще стане много трудоемко. Ще получим четири детерминанти 3 х 3, а после всяка от тях ще даде по три детерминанти с размер 2 х 2. Това ще е много трудоемко. Да видим дали няма да може да използваме някои от изводите, до които достигнахме в предходните две видеа, за да опростим процеса. Едно от тези правила беше, че при операциите по редове, или ако извадим... ще го запиша по този начин – ако заместим ред j с, да кажем, ред j минус произведението с някакъв скалар на ред i, това няма да промени детерминантата на матрицата А. Видяхме това, мисля че беше преди два урока. Това беше нещо много важно. Можем да правим такъв вид операции по редове, и това няма да промени детерминантата. Другото нещо, което установихме, е, че можем да намерим детерминантата на горната триъгълна матрица. Какво е горна триъгълна матрица? Ще я напиша отново. Горната триъгълна матрица – всичко под диагонала – да кажем, че диагоналът е – ще поставя елементите ето така. Тук има елементи, различни от нула. Но това не е задължително. После горната триъгълна матрица – всички елементи под диагонала са нули, и всичко над диагонала може би не са нули, но не се знае. Но това са ненулеви елементи, така че всичко тук в червено не са нули, а всичко в зелено са нули. Не съм споменавал в онова видео, но има и нещо, което се нарича долна триъгълна матрица, вероятно се досещаш какво представлява тя. Всички елементи над главния диагонал са нули, значи над този диагонал ето тук, всичко надолу, ето така – всички тези елементи са ненулеви. Всички тези са ненулеви, а после нулите ще бъдат над диагонала, ето така. Видяхме в последното видео, че детерминантата на тази матрица е равна на произведението от елементите по диагонала, което е много прост начин за намиране на детерминантата. Можеш да използваш същата логика, която използвахме в последното видео, за да видиш, че същото важи за долната триъгълна матрица, че нейната детерминанта също е равна на произведението от тези елементи. Няма да го доказвам сега, но ти можеш да използваш съвсем същата логика, която използвахме в онова видео за горната триъгълна матрица. Като знаем, че детерминантата на това е просто произведението на тези елементи, и че можем да извършваме операции с редове без да променяме детерминантата, може би по-лесен начин да определим тази детерминанта е да преобразуваме тази матрица в горна триъгълна матрица, а после да умножим елементите по нейния главен диагонал. Да го направим. Искаме да намерим детерминантата на А. Ще препиша А ето тук. Тя е [1;2;2;1;1;1;2;4;2;2; 7;5;2;–1;4;–6;3]. Сега да опитаме да я преобразуваме в горна триъгълна матрица. Да заместим втория ред с... първия ред ще запазим непроменен. 1, 2, 2, 1. Сега да заместим втория ред с втория ред минус първия ред. Втория ред минус първия ред ще бъде равно на 1 минус 1 е 0. В този случай константата е просто 1. Значи 1 минус 1 е 0. 2 минус 2 е 0. 4 минус 2 е 2. 2 минус 1 е 1. Сега да заместим третия ред с третия ред минус 2 по втория ред. Значи 2 минус (2 по 1), това е 0. 7 минус (2 по 2) е 3. 5 минус (2 по 2) е 1. 2 минус (2 по 1) е 0. Ще избера един хубав цвят. Ще използвам розово. Да заместим последния ред с последния ред плюс първия ред. Значи минус –1 по първия ред е същото като последния ред плюс първия ред. Значи –1 плюс 1 е 0. 4 плюс 2 е 6. –6 плюс 2 е –4. После 3 плюс 1 е 4. Ето така. Тук имаме две нули, така че може би ще искаме да разменим някои редове. Ще разменя някои редове. Ако разменим редове, какво се случва? Ще разменя средните два реда просто за удоволствие. Е, не е само за удоволствие. Защото искам да имам водещ елемент ето тук. Не трябваше да казвам водещ елемент. Искам да преобразувам матрицата като горна триъгълна матрица. Затова тук искам елемент, различен от нула. Това е нула, затова ще сваля този ред отдолу. Горния ред ще запазя същия. 1, 2, 2, 1. Последния ред ще запазя същия. 0, 0, 6, –4. И ще разменя тези два реда в средата. Значи този ще стане 0, 3, 1, 0. После 0, 0, 2, 1. Мога ли просто да разменя елементите ето така? Да, мога, но трябва да помним, че когато разменяме елементи, получената детерминанта ще бъде със сменен знак. Значи ако разменя тези два реда, тогава детерминантата на матрицата ще е тази детерминанта със знак минус. Когато разменяме два реда, трябва просто да сменим и знака на детерминантата. Видяхме това. Това беше едно от първите видеа, които направих от тази серия, в която един вид си играем с детерминантите. Сега какво искаме тук? За да получим тази матрица в горна триъгълна форма, би било хубаво този елемент да е 0. За да стане той нула... като всичко друго ще запазим същото. Значи имаме 1, 2, 2, 1. Имаме 0, 3, 1, 0. Третият ред е 0, 0, 2, 1. Сега този последен ред, нека да го заместя с последния ред минус 3 по този ред. Ще го запиша ето така. Трябва да помня и този отрицателен знак. Ще заменя последния ред с последния ред минус 2 по втория ред. Искаме да го нулираме. Значи 0 минус (2 по 0) е 0. 6 минус (2 по 3) е 0. –4 минус (2 по 1) е –6. После 4 минус (2 по 0) е 4. Почти сме готови. Сега искаме да нулираме този елемент ето тук, хайде да заместим този. Ще запазя горните три реда непроменени. Да видим дали мога да го напиша малко по-спретнато. Значи първият ред е 1, 2, 2, 1. Вторият ред е 0, 3, 1, 0. Третият ред е 0, 0, 2, 1. Ще .... Още не съм написал четвъртия ред. Разбира се, тук трябва да поставим знак минус пред детерминантата на нашата първоначална матрица, защото разменихме тези два реда. Сега да заместим последния ред с последния ред плюс 3 по третия ред. Имаме 0 плюс (3 по 0) е 0. 0 плюс (3 по 0) е 0. –6 плюс (3 по 2) е 0. 4 плюс (3 по 1) е 7. И ето така пребразувахме матрицата в горна триъгълна форма. Значи детерминантата ще е равна на произведението на елементите по диагонала. Да не забравяме знака минус. Ще поставя знак минус, и ще поставя скоби, ето така. Това ще е равно на произведението на елементите по диагонала. 1 по 3, по 2, по 7, това е 6 по 7, което е 42. Значи детерминантата на тази матрица е минус 42, което сметнахме наистина много бързо. И действително се оказва, че е по-ефективно от гледна точка пресмятания да използваме тези неща, които установихме, за да превърнем първо матрицата в горна триъгълна матрица, после, ако разменяме редове, трябва да помним за знака минус, и накрая просто умножаваме елементите по диагонала. Направихме го тук, и получихме, че детерминантата е –42.