Детерминанта на матрица 3 х 3

В последното видео дефинирахме понятието детерминанта на матрица 2 х 2. Ако имаме някаква матрица В, която изглежда по следния начин – има елементи а, b, c, d, ние дефинирахме детерминантата на В. Можем да я запишем като в с тези черти отстрани, като може да бъде записана и като елементите на матрицата с тези чертички отстрани – |a;b;c;d|. Не искам да те обърквам. Това е матрицата, когато имаме скоби. Това е детерминантата на матрицата, когато имаме тези прави черти. И тя по определение е равна на ad минус bc. В последното видео показах каква е логиката, по която това се извежда. Когато намерихме обратната матрица на В, определихме, че тя е равна на 1/(ad – bc), по някаква друга матрица, която всъщност съдържа тези два елемента разменени, т.е. имаме d и а. И после тези два елемента стават отрицателни, значи минус с и минус b. Това беше обратната матрица на матрицата В. И казахме кога това е определено. Това е определено, когато този знаменател не е 0. И вероятно си помисли, че това изглежда много важно. Ще наречем това тук детерминанта. И можем да кажем, че В е обратима тогава и само тогава, когато детерминантата на В не е равна на 0. Защото ако е равна на 0, тогава тази формула за обратната матрица не е дефинирана. Получихме формулата с нашата техника за създаване на разширена матрица. Но най-важното беше, че дефинирахме понятието детерминанта за матрица с размери 2 х 2. Следващият въпрос е... това е само за размер 2 х 2. Но както с всичко, което правим в линейната алгебра, бихме искали да обобщим тази формула за повече редове и стълбове. Така че следващата стъпка... но да правим малки стъпки – да започнем с матрица с размери 3 х 3. Да дефинираме каква е нейната детерминанта. Ще направя една матрица с размери 3 х 3 ето тук. Нека матрицата А да е равна на... просто ще запиша елементите ѝ – първи ред, първи стълб, първи ред, втори стълб, първи ред, трети стълб. После имаме а21, а22 и а23. След това имаме а31, трети ред, първи стълб, а32 и а33. Това е матрицата 3 х 3. Три реда, три стълба. Матрица с размер 3 х 3. Сега ще дефинирам детерминантата на А. Това е определението. Ще дефинирам детерминантата на тази матрица А с размер 3 х 3, която е равна на... това е малко овъртяно, но вероятно ще ти стане ясно. В следващите няколко урока ще намираме много детерминанти. Така че да ти стане един вид втора природа. Понякога включва много пресмятания. Детерминантата е равна на този първи елемент, на а11 по детерминантата на матрицата, която получаваме, когато махнем този стълб и ред. Ако премахнем този стълб и ред на матрицата, получаваме тази матрица. Значи по детерминантата на матрицата [а22; а23; а32; а33]. Ето така. Това е първият елемент и това е плюс това. Казвам, че е плюс това, защото следващият елемент ще бъде минус. Имаме минус това тук. Значи имаме минус а12 по матрицата, която получаваме, когато елиминираме неговия стълб и ред. Значи по... ще получим тези елементи ето тук. Значи [а21; а23; а31; а33]. Още не сме готови. Вероятно се досещаш кое е следващото. Сега ще имаме плюс... само да избера по-хубав цвят – плюс ето това тук. Плюс а31 по детерминантата на – предполагам, че можем да кажем на подматрицата. Ще я наречем така засега. Значи на тази матрица ето тук. По [а21; а22; а31; а32]. Това е определението за детерминанта на матрица 3 х 3. Логиката е, че когато намираме детерминантата на матрицата 3 х 3 – аз още не съм го показал – но свойствата са същите. Ако тази детерминанта е нула, тогава не можем да намерим обратна матрица. А когато сме дефинирали детерминантата по този начин, ако детерминантата не е равна на нула, тогава можем да намерим обратната матрица. Ето откъде идва това. Но аз още не съм ти го показал. Може и да не го показвам, защото включва много сметки. Ще отнеме много време. Това е много заплетено и може да се допуснат грешки от невнимание. Но логиката е съвсем същата като при матрица 2 х 2. Но мисля, че сега ще ти е интересно да видиш как това се прилага към една реална матрица, защото засега изглежда твърде абстрактно. Ако го направим с една реална матрица, ще видиш че изобщо не е трудно. Да оставим определението ето тук и да кажем, че имаме матрицата [1;2;4;2;–1;3;4;0;1]. По определението за детерминанта, тя ще е равна на... да наречем тази матрица С – детерминантата на С е равна на това. Ако искам да намеря детерминантата на С, детерминантата на С е равна на – взимам този елемент, ще взема това 1 по детерминантата на – да я наречем подматрица, ето тук. Значи имаме –1... трябва да внимаваме... имаме 3, имаме 0 и имаме 1. Ето така. Обърни внимание, че премахваме стълба на този елемент и неговия ред. И ни остава само [–1;3; 0;1]. Сега взимам този елемент. Тук трябва да внимаваш – трябва да се смени знакът. Ако тук започнеш с плюс, тогава следващият знак трябва да е минус. Значи ще бъде –2 по подматрицата – премахваме стълба и реда на този елемент. Значи [2;3;4;1]. Просто пропуснах тези. Ако мога да заснема пръста си, бих поставил пръста си върху този стълб ето тук и върху този ред, и тогава ще видя само 2, 3, 4 и 1. И това влиза в тази подматрица. И накрая – имаме плюс, минус, плюс. Накрая имаме плюс 4 по детерминантата на тази подматрица, ако пропуснем този стълб и ред. Значи [2; –1; 4;0]. Сега всичко е много лесно. Няма да е трудно да ги изчислим. Всъщност хайде да го направим. Това ще е равно на 1 по колко? Минус 1 по 1. Ще го запиша. Минус 1 по 1, минус 0 по 3. Това следва от определението за детерминанта на матрица 2 х 2. . Вече сме дефинирали това. После ще имаме минус 2, по 2 по 1, минус 4 по 3. Накрая ще имаме плюс 4, по 2 по 0, минус –1 по 4. Написах всичко, за да можеш да го виждаш. Това ето тук е просто това тук. После имаме 4 отпред. Това ето тук е това тук. Значи това е детерминантата на подматрицата 2 х 2 на всеки от тези елементи. Ако изчислим това, това е равно на... минус 1 по 1 е минус 1. Минус 0, това е 0. Значи това е минус 1 по 1, което е минус 1. После имаме... на колко е равно това? Това тук е 12. Значи получаваме 2 минус 12. Нали? Получаваме 2 по 1, минус 4 по 3. Значи това е –10. Значи това е равно на минус 10. После имаме –10 по –2. Това става плюс 20, нали? Минус 2 по минус 10. Накрая, в зеленото, имаме 2 по 0, което си е 0. После имаме –1 по 4, което е минус 4. Но тук имаме знак минус, значи става плюс 4. Всичко това е равно на +4. Плюс 4 по 4 е 16, значи плюс 16. Какво ще получим като ги съберем? Получаваме 20 плюс 16 минус 1. Това е равно на 35. Готови сме. Намерихме детерминантата на нашата матрица 3 х 3. Не е зле. Ето тук, това е равно на детерминантата на С. Щом това не е нула, тогава матрицата С е обратима. В следващото видео ще опитаме да разширим това за квадратни матрици n x n.