Основно съдържание
Линейна алгебра
Курс: Линейна алгебра > Раздел 2
Урок 5: Намиране на обратни матрици и детерминанти- Извеждане на метод за определяне на обратни матрици
- Пример за намиране на обратна матрица
- Формула за намиране на обратната матрица на матрица 2x2
- Детерминанта на матрица 3 х 3
- Детерминанта на матрица n x n
- Пресмятане на детерминанти чрез различни редове/стълбове
- Правило на Сарус за намиране на детерминанта
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Детерминанта на матрица 3 х 3
Намиране на детерминантата на матрица 3x3. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В последното видео
дефинирахме понятието детерминанта на матрица 2 х 2. Ако имаме някаква матрица В, която изглежда по следния начин –
има елементи а, b, c, d, ние дефинирахме
детерминантата на В. Можем да я запишем
като в с тези черти отстрани, като може да бъде записана
и като елементите на матрицата с тези чертички отстрани –
|a;b;c;d|. Не искам да те обърквам. Това е матрицата,
когато имаме скоби. Това е детерминантата
на матрицата, когато имаме тези прави черти. И тя по определение
е равна на ad минус bc. В последното видео показах каква е логиката, по която
това се извежда. Когато намерихме обратната
матрица на В, определихме, че тя е равна на 1/(ad – bc),
по някаква друга матрица, която всъщност съдържа
тези два елемента разменени, т.е. имаме d и а. И после тези два елемента
стават отрицателни, значи минус с и минус b. Това беше обратната
матрица на матрицата В. И казахме кога
това е определено. Това е определено, когато
този знаменател не е 0. И вероятно си помисли,
че това изглежда много важно. Ще наречем това тук
детерминанта. И можем да кажем, че
В е обратима тогава и само тогава, когато детерминантата
на В не е равна на 0. Защото ако е равна на 0,
тогава тази формула за обратната матрица не е
дефинирана. Получихме формулата с
нашата техника за създаване на разширена
матрица. Но най-важното беше, че
дефинирахме понятието детерминанта за
матрица с размери 2 х 2. Следващият въпрос е...
това е само за размер 2 х 2. Но както с всичко, което правим
в линейната алгебра, бихме искали да обобщим тази формула
за повече редове и стълбове. Така че следващата стъпка...
но да правим малки стъпки – да започнем с матрица
с размери 3 х 3. Да дефинираме каква
е нейната детерминанта. Ще направя една матрица
с размери 3 х 3 ето тук. Нека матрицата А да е равна на...
просто ще запиша елементите ѝ – първи ред, първи стълб,
първи ред, втори стълб, първи ред, трети стълб. После имаме а21,
а22 и а23. След това имаме а31,
трети ред, първи стълб, а32 и а33. Това е матрицата 3 х 3. Три реда, три стълба. Матрица с размер 3 х 3. Сега ще дефинирам
детерминантата на А. Това е определението. Ще дефинирам детерминантата на
тази матрица А с размер 3 х 3, която е равна на...
това е малко овъртяно, но вероятно ще
ти стане ясно. В следващите няколко
урока ще намираме много детерминанти. Така че да ти стане
един вид втора природа. Понякога включва
много пресмятания. Детерминантата е равна
на този първи елемент, на а11 по детерминантата
на матрицата, която получаваме, когато махнем
този стълб и ред. Ако премахнем този
стълб и ред на матрицата, получаваме
тази матрица. Значи по детерминантата
на матрицата [а22; а23; а32; а33]. Ето така. Това е първият елемент
и това е плюс това. Казвам, че е плюс това,
защото следващият елемент ще бъде минус. Имаме минус това тук. Значи имаме минус
а12 по матрицата, която получаваме, когато
елиминираме неговия стълб и ред. Значи по... ще получим
тези елементи ето тук. Значи [а21; а23; а31; а33]. Още не сме готови. Вероятно се досещаш
кое е следващото. Сега ще имаме плюс...
само да избера по-хубав цвят – плюс ето това тук. Плюс а31 по
детерминантата на – предполагам, че можем
да кажем на подматрицата. Ще я наречем така
засега. Значи на тази матрица
ето тук. По [а21; а22; а31; а32]. Това е определението за детерминанта на матрица 3 х 3. Логиката е, че когато
намираме детерминантата на матрицата 3 х 3 –
аз още не съм го показал – но свойствата са същите. Ако тази детерминанта
е нула, тогава не можем да намерим
обратна матрица. А когато сме дефинирали
детерминантата по този начин, ако детерминантата не е
равна на нула, тогава можем да намерим
обратната матрица. Ето откъде идва това. Но аз още не съм
ти го показал. Може и да не го показвам,
защото включва много сметки. Ще отнеме много време. Това е много заплетено и може
да се допуснат грешки от невнимание. Но логиката е съвсем същата
като при матрица 2 х 2. Но мисля, че сега ще ти е
интересно да видиш как това се прилага към
една реална матрица, защото засега
изглежда твърде абстрактно. Ако го направим с една
реална матрица, ще видиш че изобщо не е трудно. Да оставим определението
ето тук и да кажем, че имаме матрицата
[1;2;4;2;–1;3;4;0;1]. По определението за детерминанта, тя ще е равна на...
да наречем тази матрица С – детерминантата на С
е равна на това. Ако искам да намеря
детерминантата на С, детерминантата на С
е равна на – взимам този елемент, ще взема това 1 по
детерминантата на – да я наречем подматрица,
ето тук. Значи имаме –1...
трябва да внимаваме... имаме 3, имаме 0
и имаме 1. Ето така. Обърни внимание, че
премахваме стълба на този елемент
и неговия ред. И ни остава само
[–1;3; 0;1]. Сега взимам този елемент. Тук трябва да внимаваш – трябва да се смени знакът. Ако тук започнеш с плюс,
тогава следващият знак трябва да е минус. Значи ще бъде –2 по
подматрицата – премахваме стълба
и реда на този елемент. Значи [2;3;4;1]. Просто пропуснах тези. Ако мога да заснема пръста си,
бих поставил пръста си върху този стълб ето тук
и върху този ред, и тогава ще видя само
2, 3, 4 и 1. И това влиза в
тази подматрица. И накрая – имаме
плюс, минус, плюс. Накрая имаме плюс
4 по детерминантата на тази подматрица, ако
пропуснем този стълб и ред. Значи [2; –1; 4;0]. Сега всичко е много лесно. Няма да е трудно
да ги изчислим. Всъщност хайде да го направим. Това ще е равно на 1
по колко? Минус 1 по 1. Ще го запиша. Минус 1 по 1, минус 0 по 3. Това следва от определението
за детерминанта на матрица 2 х 2. . Вече сме дефинирали това. После ще имаме
минус 2, по 2 по 1, минус 4 по 3. Накрая ще имаме
плюс 4, по 2 по 0, минус –1 по 4. Написах всичко, за да
можеш да го виждаш. Това ето тук е
просто това тук. После имаме 4 отпред. Това ето тук е това тук. Значи това е детерминантата
на подматрицата 2 х 2 на всеки от тези елементи. Ако изчислим това, това
е равно на... минус 1 по 1 е минус 1. Минус 0, това е 0. Значи това е минус 1
по 1, което е минус 1. После имаме...
на колко е равно това? Това тук е 12. Значи получаваме
2 минус 12. Нали? Получаваме 2 по 1,
минус 4 по 3. Значи това е –10. Значи това е равно
на минус 10. После имаме –10
по –2. Това става плюс 20, нали? Минус 2 по минус 10. Накрая, в зеленото,
имаме 2 по 0, което си е 0. После имаме –1 по 4,
което е минус 4. Но тук имаме знак минус,
значи става плюс 4. Всичко това
е равно на +4. Плюс 4 по 4 е 16,
значи плюс 16. Какво ще получим
като ги съберем? Получаваме 20 плюс
16 минус 1. Това е равно на 35. Готови сме. Намерихме детерминантата
на нашата матрица 3 х 3. Не е зле. Ето тук, това е равно на
детерминантата на С. Щом това не е нула, тогава
матрицата С е обратима. В следващото видео ще опитаме
да разширим това за квадратни матрици n x n.