If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Детерминанта на матрица 3 х 3

Намиране на детерминантата на матрица 3x3. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последното видео дефинирахме понятието детерминанта на матрица 2 х 2. Ако имаме някаква матрица В, която изглежда по следния начин – има елементи а, b, c, d, ние дефинирахме детерминантата на В. Можем да я запишем като в с тези черти отстрани, като може да бъде записана и като елементите на матрицата с тези чертички отстрани – |a;b;c;d|. Не искам да те обърквам. Това е матрицата, когато имаме скоби. Това е детерминантата на матрицата, когато имаме тези прави черти. И тя по определение е равна на ad минус bc. В последното видео показах каква е логиката, по която това се извежда. Когато намерихме обратната матрица на В, определихме, че тя е равна на 1/(ad – bc), по някаква друга матрица, която всъщност съдържа тези два елемента разменени, т.е. имаме d и а. И после тези два елемента стават отрицателни, значи минус с и минус b. Това беше обратната матрица на матрицата В. И казахме кога това е определено. Това е определено, когато този знаменател не е 0. И вероятно си помисли, че това изглежда много важно. Ще наречем това тук детерминанта. И можем да кажем, че В е обратима тогава и само тогава, когато детерминантата на В не е равна на 0. Защото ако е равна на 0, тогава тази формула за обратната матрица не е дефинирана. Получихме формулата с нашата техника за създаване на разширена матрица. Но най-важното беше, че дефинирахме понятието детерминанта за матрица с размери 2 х 2. Следващият въпрос е... това е само за размер 2 х 2. Но както с всичко, което правим в линейната алгебра, бихме искали да обобщим тази формула за повече редове и стълбове. Така че следващата стъпка... но да правим малки стъпки – да започнем с матрица с размери 3 х 3. Да дефинираме каква е нейната детерминанта. Ще направя една матрица с размери 3 х 3 ето тук. Нека матрицата А да е равна на... просто ще запиша елементите ѝ – първи ред, първи стълб, първи ред, втори стълб, първи ред, трети стълб. После имаме а21, а22 и а23. След това имаме а31, трети ред, първи стълб, а32 и а33. Това е матрицата 3 х 3. Три реда, три стълба. Матрица с размер 3 х 3. Сега ще дефинирам детерминантата на А. Това е определението. Ще дефинирам детерминантата на тази матрица А с размер 3 х 3, която е равна на... това е малко овъртяно, но вероятно ще ти стане ясно. В следващите няколко урока ще намираме много детерминанти. Така че да ти стане един вид втора природа. Понякога включва много пресмятания. Детерминантата е равна на този първи елемент, на а11 по детерминантата на матрицата, която получаваме, когато махнем този стълб и ред. Ако премахнем този стълб и ред на матрицата, получаваме тази матрица. Значи по детерминантата на матрицата [а22; а23; а32; а33]. Ето така. Това е първият елемент и това е плюс това. Казвам, че е плюс това, защото следващият елемент ще бъде минус. Имаме минус това тук. Значи имаме минус а12 по матрицата, която получаваме, когато елиминираме неговия стълб и ред. Значи по... ще получим тези елементи ето тук. Значи [а21; а23; а31; а33]. Още не сме готови. Вероятно се досещаш кое е следващото. Сега ще имаме плюс... само да избера по-хубав цвят – плюс ето това тук. Плюс а31 по детерминантата на – предполагам, че можем да кажем на подматрицата. Ще я наречем така засега. Значи на тази матрица ето тук. По [а21; а22; а31; а32]. Това е определението за детерминанта на матрица 3 х 3. Логиката е, че когато намираме детерминантата на матрицата 3 х 3 – аз още не съм го показал – но свойствата са същите. Ако тази детерминанта е нула, тогава не можем да намерим обратна матрица. А когато сме дефинирали детерминантата по този начин, ако детерминантата не е равна на нула, тогава можем да намерим обратната матрица. Ето откъде идва това. Но аз още не съм ти го показал. Може и да не го показвам, защото включва много сметки. Ще отнеме много време. Това е много заплетено и може да се допуснат грешки от невнимание. Но логиката е съвсем същата като при матрица 2 х 2. Но мисля, че сега ще ти е интересно да видиш как това се прилага към една реална матрица, защото засега изглежда твърде абстрактно. Ако го направим с една реална матрица, ще видиш че изобщо не е трудно. Да оставим определението ето тук и да кажем, че имаме матрицата [1;2;4;2;–1;3;4;0;1]. По определението за детерминанта, тя ще е равна на... да наречем тази матрица С – детерминантата на С е равна на това. Ако искам да намеря детерминантата на С, детерминантата на С е равна на – взимам този елемент, ще взема това 1 по детерминантата на – да я наречем подматрица, ето тук. Значи имаме –1... трябва да внимаваме... имаме 3, имаме 0 и имаме 1. Ето така. Обърни внимание, че премахваме стълба на този елемент и неговия ред. И ни остава само [–1;3; 0;1]. Сега взимам този елемент. Тук трябва да внимаваш – трябва да се смени знакът. Ако тук започнеш с плюс, тогава следващият знак трябва да е минус. Значи ще бъде –2 по подматрицата – премахваме стълба и реда на този елемент. Значи [2;3;4;1]. Просто пропуснах тези. Ако мога да заснема пръста си, бих поставил пръста си върху този стълб ето тук и върху този ред, и тогава ще видя само 2, 3, 4 и 1. И това влиза в тази подматрица. И накрая – имаме плюс, минус, плюс. Накрая имаме плюс 4 по детерминантата на тази подматрица, ако пропуснем този стълб и ред. Значи [2; –1; 4;0]. Сега всичко е много лесно. Няма да е трудно да ги изчислим. Всъщност хайде да го направим. Това ще е равно на 1 по колко? Минус 1 по 1. Ще го запиша. Минус 1 по 1, минус 0 по 3. Това следва от определението за детерминанта на матрица 2 х 2. . Вече сме дефинирали това. После ще имаме минус 2, по 2 по 1, минус 4 по 3. Накрая ще имаме плюс 4, по 2 по 0, минус –1 по 4. Написах всичко, за да можеш да го виждаш. Това ето тук е просто това тук. После имаме 4 отпред. Това ето тук е това тук. Значи това е детерминантата на подматрицата 2 х 2 на всеки от тези елементи. Ако изчислим това, това е равно на... минус 1 по 1 е минус 1. Минус 0, това е 0. Значи това е минус 1 по 1, което е минус 1. После имаме... на колко е равно това? Това тук е 12. Значи получаваме 2 минус 12. Нали? Получаваме 2 по 1, минус 4 по 3. Значи това е –10. Значи това е равно на минус 10. После имаме –10 по –2. Това става плюс 20, нали? Минус 2 по минус 10. Накрая, в зеленото, имаме 2 по 0, което си е 0. После имаме –1 по 4, което е минус 4. Но тук имаме знак минус, значи става плюс 4. Всичко това е равно на +4. Плюс 4 по 4 е 16, значи плюс 16. Какво ще получим като ги съберем? Получаваме 20 плюс 16 минус 1. Това е равно на 35. Готови сме. Намерихме детерминантата на нашата матрица 3 х 3. Не е зле. Ето тук, това е равно на детерминантата на С. Щом това не е нула, тогава матрицата С е обратима. В следващото видео ще опитаме да разширим това за квадратни матрици n x n.