Пример за намиране на обратна матрица

В последното видео намерихме начин за определяне на обратната матрица на една обратима матрица. Ще използваме този метод в настоящето видео. Ще използвам същата матрица, с която започнахме в предишното видео. Тя изглежда много хубава матрица. Знаем, че когато я преобразуваме в ешелонна форма, получаваме единичната матрица, следователно тази матрица е обратима. Сега да намерим обратната ѝ матрица. Този метод е много прост. Просто прилагаме същите трансформации, които бихме приложили на тази матрица тук, за да получим единичната матрица, и прилагаме същите трансформации към единичната матрица. Това е така, защото съвкупността на тези трансформации, ако ги представим като матрици, това е просто обратното на това ето тук. Да го направим. Тук ще направя една разширена матрица. Може би ще я направя тук. Ще я направя малко по-старателно. Първо ще запиша А. Това е 1, –1, 1. После –1, 2, 1. –1, 3, 4. Сега ще я разширя с единичната матрица, с [1;0;0; 0;1;0; 0;0;1]. Сега, ако искам да преобразувам в ешелонна форма, може би трябва да заместя втория ред. Ще запазя първия ред непроменен засега. Ще го начертая ето така. Целият първи ред: 1, –1, –1. Той ще бъде разширен с 1, 0, 0. Запазваме целия първи ред непроменен. Да заместим втория ред с втория ред плюс първия ред. Минус 1 плюс 1 е 0. 2 плюс –1 е 1. 3 плюс –1 е 2. 0 плюс 1 е 0. 1 плюс... о, извинявам се. Това е малко завързано. 0 плюс 1 е 1. 1 плюс 0 е 1. 0 плюс 0 е 0. Просто събрах тези два реда. Сега да видим третия ред. Ще заместя – искам да получа 0 тук. Ще заместя третия ред с третия ред минус първия ред. 1 минус 1 е 0. 1 минус –1 е 2. 4 минус –1 е 5. 0 минус 1 е –1. 0 минус 0 е 0. И 1 минус 0 е 1. Ето така. Какво искаме да направим? Стигнахме до тук. Искаме да направим нули този елемент и този елемент. Ще запазим втория ред непроменен. Ще го запиша тук долу. Това е 0, 1, 2 и после разширената част 1, 1, 0. Ето така. Сега да заместим първия ред с първия ред плюс втория ред. 1 плюс 0 е 1. –1 плюс 1 е 0. Затова го правя – за да получа тук нула. –1 плюс 2 е 1. 1 плюс 1 е 2. 0 плюс 1 е 1. 0 плюс 0 е 0. Сега искаме да получим нула ето тук. Да заместим третия ред с третия ред минус 2 по втория ред. 0, минус 2 по 0, е 0. 2, минус 2 по 1, е 0. 5, минус 2 по 2, е 5 минус 4, което е 1. –1, минус 2 по 1 – това е –1 минус 2, което е –3. 0, минус 2 по 1, това е –2. После 1, минус 2 по 0, това отново е 1. Добре, почти сме на финала. Сега искам да направя нули ето тези елементи тук. Ще запазим третия ред непроменен. Ще сменя цветовете, за да остане цветно. Запазвам третия ред. Това е 0, 0, 1. Разширяваме го с –3, –2 и 1. Сега да заместим първия ред с първия ред минус третия ред. 1 минус 0 е 1. 0 минус 0 е 0. 1 минус 1 е 0. 2 минус –3 е 5. 1 минус –2 е 3. 0 минус 1 е –1. Сега да заместим втория ред с втория ред минус 2 по третия ред. 0, минус 2 по 0, е 0. 1, минус 2 по 0, е 0. 2, минус 2 по 1 – о, извинявам се, опа. Трябва много да се внимава, за да не се допускат грешки от невнимание. 0, минус 2 по 0, е 0. 1, минус 2 по 0, е 1. Не е нула. 2, минус 2 по 1, е 0. 1, минус 2 по –3, това е 1 плюс 2 по 3, което е 7. 1, минус 2 по –2, това е 1 плюс 4, което е 5. После 0, минус 2 по 1, това е –2. По този начин получихме частта А от разширената матрица в ешелонна форма. Това е ешелонната форма на матрицата А. Когато приложим съвсем същите трансформации – защото, ако помислиш за това, тези поредици от умножения на матрици, които ни водят от тук до единичната матрица – това, по определение, е единичната матрица. Значи прилагаме същите тези трансформации към единичната матрица, и ще получим обратната матрица на А. Това ето тук е А^(–1). Намерихме обратната матрица А^(–1) и всъщност изобщо не беше трудно.