Формула за намиране на обратната матрица на матрица 2x2

Дадена е една матрица 2 х 2. Да кажем, че А е равна на [а; b; c; d]. Ще я оставя като общ случай. Това е една матрица с размери 2 х 2. Сега искам да използвам метода за намиране обратната на тази матрица, за да намерим формула за намиране на обратната матрица на матрица 2 х 2. Искам да намеря обратната матрица А^(–1), като използвам само формулата, която току-що приложих към тази матрица ето тук. Как мога да направя това? Знаем една техника. Просто правим разширена матрица. Да направим една разширена матрица ето тук. Имаме [а; b; c; d], след което я разширяваме с единичната матрица в R2, [1; 0; 0; 1]. Знаем, че ако приложим серия от операции по редовете на тази разширена матрица, ще получим отляво редуцираната ѝ ешелонна форма. Отдясно, ако ешелонната форма тук стане единична матрица, тогава отдясно ще получим обратната матрица на изходната. Да го направим за този общ случай, като не се занимаваме с конкретни числа. Първото нещо, което искам да направя, е да направя този елемент тук да стане 0. Искаме да нулираме това, да нулираме това, и после тези два елемента да станат равни на 1. Най-добрият начин да нулираме това е като извършим трансформация тук. Ако извърша трансформация на тези стълбове, С1, значи тези елементи на стълба – това ще е един стълб тук, това ще е друг стълб ето тук, това ще е третия стълб, а това ще е четвъртия стълб. Но трансформацията, която смятам да приложа на всеки от тези стълбове – знаем, че това е еквивалентно на операции по редове – това ще бъде равно на... понеже искам да нулирам това, ще запазя първия ред непроменен, така че това ще бъде с1, и ще заместя втория ред с "а" по втория ред минус "с" по първия ред. Защо правя това? Защото "а" по "с" минус "с" по "а" е равно на 0. Значи това тук ще е 0. Това е операцията, която ще извърша с този ред. Правя това, за да можем да проследим какво се случва, какво правим, защото сметките ще станат малко претрупани. Ще направя тази операция. Ако направя тази операция с нашата матрица, какво ще получим? Първият ред остава непроменен. Ще започна с втория ред, защото това е малко по-сложно. Ще заместя "с" с "а" по "с" минус "с" по "а". Това е "а" по "с" – ще го напиша по следния начин – това тук ще бъде 0. Ще заместя "d" с "d" по "а" или "а" по "d" минус "с" по "с1" в този вектор-стълб. Значи минус "с" по "b". Ще напиша това като "b" по "с". Сега ще разширим матрицата. Тогава това тук ще стане "а" по 0, защото е "с2" минус "с" по "с1". Значи ще стане минус "с". И накрая, този елемент тук ще бъде "а" по 1... "а" по това 1 ето тук – минус "с" по 0. Това ще бъде просто "а". Първият ред е много лесен. Знаем, че първият ред или първите елементи на вектор-стълбовете остават същите при тази трансформация. Значи това е [а; b; 1; 0]. И само да се уверя, че е ясно какво правим, когато прилагаме тази трансформация на този вектор-стълб ето тук, получаваме този вектор-стълб тук. Когато прилагаме трансформацията към този вектор-стълб, получаваме този вектор-стълб. Искам само да поясня това, защото направих всички втори елементи на вектор-стълбовете едновременно, тъй като на практика прилагаме една и съща операция по редове, така че това ми помогна да опростя поне разсъжденията донякъде. Ще продължим така. Ще продължим да преобразуваме тази матрица в ешелонна форма. Следващото нещо, което искаме да направим, е една следваща трансформация, а тази тук ще означа като Т1. Това беше първата ни трансформация. Сега да направим друга трансформация. Т2 или друга съвкупност от операции по редове. Ако започна с вектор-стълба с1, с2, сега искам да запазя втория ред непроменен, и искам още да нулирам този елемент ето тук. Искам да го нулирам. Знам, че ще запазя втория ред непроменен, значи с2 си остава с2. Но за да нулирам това, искам да заместя първия ред с първия ред, умножен по този множител, минус втория ред, умножен по този множител. Значи получавам "а" по "d" минус "b" по "с", по първия елемент в този стълб, минус "b" по втория елемент. Причината да правя това е за да нулирам тези елементи. Ако приложим това към тази матрица тук горе – първо да направим първия ред. Значи първият ред ето тук ще бъде "а" по "d" минус "b" по "с", по "а", защото това е с1 – ще го напиша. Значи "а" по "d" минус "b" по "с", по "а", минус "b" по с2 минус 0. Това ще е равно на... вторият елемент става 0. Добре. Сега на какво ще е равно това? Това ще стане... ще го запиша. Това става "а" по "d" минус "b" по "с", по "b", минус "b" по с2, в този вектор-стълб, минус "b" по "а" по "d" минус "b" по "с". Веднага можеш да видиш, че тези двете ще се унищожат, и ще остане просто 0. Сега трябва да го разширим. Искам д а се уверя, че не ми свършва мястото, трябваше да започна малко по-вляво. Какво става това тук? Това е този елемент по "а" по "d" минус "b" по "с" – използвам розово – значи става "а" по "d" минус "b" по "с", по 1, което е просто "а" по "d" минус "b" по "с", минус "b" по с2, така че минус "b" по минус "с". Значи това е плюс "b" по "с". Значи 1 по "а" по "d" минус "b" по "с", минус "b" по минус "с" е равно на това. И веднага се вижда, че тези двете се унищожават. Получава се ... (не се чува) "а" по "d". После този елемент ето тук, ще имаме 0 по "а" по "d" минус "b" по "с", което е просто 0, минус "b" по "а". Става минус "а" по "b" – ще го сместя тук. Вторият ред остава същия. Вторият ред не се променя в тази трансформация. Значи тук имаме 0, пак ще имаме 0. Имахме "а" по "d" минус "b" по "с". Пак имаме "а" по "d" минус "b" по "с", Имахме "а" минус "с". После имахме "а". Ето така. Сега искам да препиша тази матрица, така че да стане по-прегледна. Ще я препиша ето тук. Ще използвам оранжево – или ще го направя с жълто. Значи имам "а" по "d" минус "b" по "с", по "а". После този член тук стана просто 0. Този член тук е 0. Този член тук е "а" по "d" минус "b" по "с", И разширението – тази част е просто "а" по "d". Това е минус "а" по "b". Това е минус "с". А това тук е "а". Почти получихме ешелонната форма. Тези двете тук трябва да са равни на 1, за да получим ешелонна форма. Да дефинираме една трансформация, която ще направи и двата елемента да са равни на 1. Ако това е Т2, сега ще дефинираме Т3. Имаме вектор-стълб, [с1; с2]. Сега просто ще мащабирам всеки вектор-стълб. Искам сега да разделя първите елементи на този мащабиращ коефициент тук, така че това да стане 1. Значи ще умножа по 1 върху "а" по "d" минус "b" по "с", по а, значи 1 върху "а" по "d", "b" по "с", по "а", по първия елемент на всички вектор-стълбове. После втория ред искам да разделя на това. Значи това тук става 1. В една трансформация два пъти деля на число. Това тук е 1 върху "а" по "d" минус "b" по "с", по с2. Просто мащабирам всичко, като умножавам по тези мащабиращи коефициенти. Ако приложим тази трансформация към това т ук, какво получаваме? Получаваме матрица. Този елемент ще разделя на "а" по "d" минус "b" по "с", по "а", така че го деля на самото него, и това ще стане 1. Ще разделя 0 на това, но нула делено на всичко си е пак 0. И сега сме в разширението. "а" по "d", делено на... ще го напиша по следния начин. Значи "а" по "d"... няма да деля на това – ще бъде "а" по "d" минус "b" по "с", по "а" – веднага се вижда, че ще се унищожат. Това става минус "а" по "b", делено на "d" по "с", минус "b" по "с", по "а". Тези "а" отново се съкращават. Във втория ред са вторите елементи на стълбовете, 0 делено на каквото и да е пак е 0. Значи 0 делено на това ще е 0, като приемаме, че делим на това, и ще го обсъдим след секунда. Това, делено на това, тук просто делим на самото него, така че това ще стане 1. Сега имаме минус "с", делено на това, или "а" по "d" минус "b" по "с". И после имаме "а". "а", делено на "а" по "d" минус "b" по "с". И сме готови. Преобразувахме лявата страна на разширената матрица в ешелонна форма. Сега това е нашата обратна матрица. Ще почистя малко. Дотук – започнахме с матрица – ще я направя в цикламено – започнахме с матрицата А, която е равна на [а; b; c; d]. Като използвахме нашия метод, установихме, че обратната матрица е равна на това тук. И само да опростим – ще го запиша по начина, по който е тук, защото не искам да пропускам никакви стъпки – това е равно на "d" върху "а" по "d" минус "b" по "с". Това и това се съкращават. После имаме "–b" върху "а" по "d" минус "b" по "с", защото това и това се съкращават. След това имаме "–с" върху "а" по "d" минус "b" по "с". И накрая имаме "а" върху "а" по "d" минус "b" по "с". Това е обратната матрица. Може би веднага ти прави впечатление, че всички елементи в обратната матрица са разделени на този израз. Може би има по-лесен начин да напишем обратната матрица. Можем да запишем обратната матрица по следния начин. Можем да я запишем като 1 върху "а" по "d" минус "b" по "с", по матрицата [d; –b; –c; a]. И по този начин получихме формула за обратната матрица на матрица 2 х 2. Можеш да ми дадеш произволни реални числа и аз мога да ти дам обратната матрица. Това е лесно. Сега може да кажеш, че не всички матрици 2 х 2 са обратими. Как тогава това се отнася за всички тях? А аз пък ще те попитам кога това ето тук няма да е дефинирано? Кога това не е дефинирано? Всяка операция, която извърших, може да се извърши с произволни реални числа и това се отнася за всички реални числа. Но кога това не е дефинирано? Това не е дефинирано, когато делим на 0. А кога ще делим на 0? Всичко можем да умножаваме, да изваждаме и събираме с нула, но не можем да делим на нула. Не сме дефинирали какво означава да делим нещо на нула. Значи това не е дефинирано, когато "а" по "d" минус "b" по "с" е нула. Това е много интересно. Винаги мога да намеря обратната матрица на матрица 2 х 2, стига "а" по "d" минус "b" по "с" да не е равно на нула. Установихме всички тези готини неща за обратимостта, трябва да я преобразуваме в ешелонна форма по редове, като преди това говорихме за това да е върху, и 1 към 1. Поне за матриците с размери 2 х 2 нещата се опростиха доста. Стига "а" по "d" минус "b" по "с" да не е нула, винаги можем да използваме тази формула и знаем, че – като това е в двете посоки – че матрицата А е обратима. И не само матрицата е обратима, но можем да използваме тази формула за нея. Веднага може да видиш нещо интересно – може да кажеш, че това е едно интересно число. Трябва да му дадем някакво име. И за наш късмет, то си има име. Това се нарича детерминанта. Ще го запиша в розово. Детерминанта. Детерминантата на матрицата А, която се записва по този начин, с тези малки прави чертички отстрани, и може да запишем също ето така |[a; b; c; d]|. (на екрана Сал използва и запис Det(A), а у нас се използва Det A) Но повечето хора смятат за излишно да използват тези скоби и чертички. Затова просто я пишат по този начин, това е равно на – просто записваме чертичките, |a; b; c; d|. Искам да поясня това. Имаме скоби, когато си имаме работа с матрица. Ако имаме само тези прави чертички, тогава става въпрос за детерминантата на матрицата. Това е дефинирано за матрица 2х2, че е равно на "а" по "d" минус "b" по "с". Това е определението за детерминанта. Можем да го преработим, ако искам тук да имаме някаква матрица, имаме някаква матрица А, която е равна на [a; b; c; d]. Сега можем да напишем нейната обратна матрица, която е равна на 1 върху това нещо, което дефинирахме като детерминантата на матрицата А по... да потърсим лесен начин за запомняне. Разместваме тези два елемента, "а" и "d" просто ги разместваме. Така получаваме "d" и "а". А тези двете остават на местата си, но те просто стават отрицателни. Значи "–b" и "–с". Това е общата формула за детерминантата на матрица 2 х 2. Да направим няколко примера. Да намерим детерминантата на матрицата [1; 2; 3; 4]. Доста лесно е. Значи детерминантата на... да кажем, че това е матрицата В. Детерминантата на В, или можем да го запишем ето така, това е равно на детерминантата на В. Това е равно на – това нещо ето тук – 1 по 4 минус 3 по 2, което е равно на 4 минус 6, което е равно на –2. Значи детерминантата е –2, следователно матрицата е обратима. Не само е обратима, но и е много лесно да намерим обратната ѝ матрица. Можем да използваме тази формула. Обратната матрица на В в този случай – ще използвам този цвят – В^(–1) е равна на 1 върху детерминантата, това е 1 върху –2, по матрицата, в която обръщаме – това е детерминантата на матрицата В. Трябва да внимавам. В е същото нещо, но със скоби. [1; 2; 3; 4]. Значи В^(–1) е равна на 1 върху детерминантата на В, което е равно на –2. Значи 1 върху –2. Разменяме тези два елемента, така че стават 4 и 1, а тези два елемента стават отрицателни – минус 2 и после минус 3. И после, ако трябва да умножим това, това ще стане равно на –1/2 по 4, което е –2. Минус 1/2 по –2 е 1. Минус 1/2 по –3 е 3/2, минус 1/2 по 1 е –1/2. Така че това е обратната матрица на В. Да вземем друга матрица. Нека да е матрицата С, която е равна на [1; 2; 3; 6]. Колко е детерминантата на матрицата С? Тя е равна на... можем да го запишем така – 1, 2, 3, 6. Това е равно на 1 по 6 минус 3 по 2, което е 6 минус 6, което е равно на 0. Виждаме, че е равно на 0, следователно не можем – тази матрица не е обратима. Не можем да намерим обратната на нея, защото ако опитаме да използваме формулата, ще имаме 1 върху 0. Знаем, че тази формула следва... просто се опитваме да преобразуваме в ешелонна форма, и в последната стъпка трябва просто да разделим всичко на тези членове. Но тези членове ще са 0 в тази матрица С, която току-що измислих. Причината, поради която знаех... Просто измислих това – знаех, че тази матрица няма да е обратима, защото подбрах такъв случай, в който всички стълбове са линейни комбинации един на друг. Имам 1, 3 – умножавам ги по 2 и получавам 2 и 6. Знаех, че това не са линейно независими стълбове. Знаеш, че рангът ѝ няма да е равен на... знаех, че няма да е обратима, което виждаме просто като изчислим нейната детерминанта.