Детерминанта на матрица n x n

В предишно видео дадохме определение за детерминанта на матрица с размер 2 х 2. Ето го определението: (ad – bc). След това разширихме това малко, като дадохме определение за детерминанта на матрица 3 х 3, което е ето тук, в което казахме на практика, че детерминантата е равна на всеки от тези елементи... можем да ги наричаме коефициенти – по детерминантата на матрицата – един вид можем да я разглеждаме като подматрица, получена, когато премахнем съответните ред и стълб на дадения елемент. Когато премахнем реда и стълба на този елемент, ние получаваме тази матрица. Казах този елемент по детерминантата на тази матрица. И променяхме знака, минус този елемент по детерминантата, ако премахнем неговия стълб и неговия ред. Така че останаха тези елементи ето тук, за да получим тази детерминанта. Накрая отново сменяме знака. Значи плюс този елемент, по детерминантата на тази матрица 2х2, получена след като премахнем този стълб и ред. Това нещо ето тук, това беше тази матрица. Сега да видим можем ли да разширим това за общия случай на матрица n x n. Ще запиша матрицата n x n ето тук. Ще използвам синьо. Нека имаме една матрица А, която е n x n, която ще изглежда ето по този начин. Това е а11, това а12, и така нататък – имаме n стълба, значи ще бъде а1n. Когато отиваме надолу, това е вторият ред, а21, и така нататък надолу до an1, понеже имаме n реда. После ако отидем по диагонала, това ето тук е ann. Това е матрицата n x n. Преди да дефинирам как можем да намерим детерминантата на тази матрица, ще дам още едно определение. Ще дефинирам – значи това е матрицата А. Ще дефинирам подматрица Aij, която е равна на – това е n x n, нали? Това ще бъде матрица с размери (n – 1) х (n – 1). Ако тази матрица е 7 х 7, тази ще бъде 6 х 6, с едно по-малко във всяка посока. Значи това ще е матрица (n – 1) х (n – 1). Получава се, когато игнорираме или ако премахнем... може би трябва да кажа като премахнем. Да кажем, че игнорираме, обичам думата игнорирам. Ако игнорираме i-ия ред, този ред ето тук, i-ия ред и j-ия стълб на матрицата А. Да се върнем към примера с матрица 3 х 3. Това нещо може да бъде записано въз основа на това определение... можем да наречем това а11, този член ето тук. Можем да запишем матрицата, когато премахнем първия стълб и първия ред или първия ред и първия стълб – можем да наречем това тук голямата матрица А11. Значи това е голямата матрица А11. Това е голямата матрица А21, или всъщност матрицата беше С, значи това тук е С11. Можем да наречем това матрицата С12. Защо? Защото, ако премахнем първия ред – ще премахна първия ред, нали? Първият член е редът. Ако премахнем първия ред и втория стълб, това е матрицата, която ще остане – [2;3;4;1]. Значи това е това и това. [2;3;4;1]. Това е подматрицата С, защото това е голямата матрица С, но това тук е С12. Знам, че стана малко объркано. Ето това означава подматрица. Много подобно на това, което направихме с матрица 3 х 3 . На практика премахваш – ако искаш да намериш подматрицата на този елемент, ще я наречем А11 и буквално зачеркваме първия ред и първия стълб, и всичко, което остане след това, е тази подматрица. Сега, като изяснихме това, можем да дадем определение, може би ти се струва, че се въртим в кръг, което донякъде е така. Ще дефинираме детерминантата на А, която е равна на... това е интересно. Това е всъщност едно рекурентно определение. Ще го обясня след малко. Равна е на – ще започнем с плюс. Равно е на а11 по подматрицата, когато премахнем реда и стълба на този елемент а11. Значи по определение това е просто А, детерминантата на главно А11. Точно това направихме. Ще го запиша малко по-прегледно. Значи по детерминантата на неговата подматрица, значи детерминантата на А11. Така че взимаш а11, премахваш неговия стълб и ред или неговия ред и стълб, и всичко останало и намираш детерминантата на това. Всъщност ще го напиша чрез – ще го напиша по този начин. а11 по детерминантата на подматрицата А11. И после сменяш страните. Просто ще минем по този ред, и после имаме минус а12 по детерминантата на неговата подматрица, която ще наречем А12. Ще премахнем този ред и този стълб и всичко останало е тази матрица А12. Ще намерим детерминантата ѝ. После взимаме следващия елемент тук, който е а13. Сменяме знака минус, сега става плюс, значи а13 по детерминантата на неговата подматрица. Ако матрицата ни е n x n, тези тук ще бъдат (n– 1) х (n – 1). Значи детерминантата на А13. И продължаваме по този начин, продължаваме да сменяме знаците, значи ще стане минус и после плюс и така нататък... и после не знам, зависи дали имаме четно или нечетно число. Ако имаме четно число, тогава тук ще е знак минус. . Ако имаме нечетно число, тук ще е знак плюс, мисля, че разбираш. Това ще бъде или плюс, или минус – ако е нечетно, ще бъде плюс. Ако n е четно число, тогава ще е минус, и така нататък, до а1n, n-ия стълб по неговата подматрица А1n. За тази подматрица премахваме първия ред и n-ия стълб, и тя включва всичко останало без тях. Тук може да кажеш: "Сал, какво определение е това? Ти дефинираш детерминантата на произволна матрица n x n чрез дефиницията на друга детерминанта. Как работи това?" Причината това да работи е, понеже детерминантата, която използваш в определението, е детерминанта на по-малка матрица. Това е детерминантата на матрица (n– 1) х (n – 1). Но ти казваш: "Сал, това все още няма никакъв смисъл, защото ние не знаем как да намерим детерминантата на матрицата (n – 1) х (n – 1)." Ами просто прилагаме това определение още веднъж, тогава ще я изразим чрез (n – 2) х (n – 2) членове или чрез матрици (n – 2) х (n – 2). Но ти питаш: "Как ще стане това?" Ами продължаваш по същия начин, и накрая ще стигнеш до матрица с размер 2 х 2. А това вече е дефинирано. Дефинирахме детерминантата на матрица 2 х 2 не чрез друга детерминанта. Дефинирахме я като... ще го запиша ето тук. Тя беше (a по d – b по c). И сега виждаш, искам да кажа, че можем да използваме и 3 х 3, но 2 х 2 е най-фундаменталното определение. Можеш да видиш, че определението на 3 х 3 е частен случай на общия случай n x n. Взимаме този елемент и го умножаваме по детерминантата на неговата подматрица. После взимаме този елемент, като сменяме знака. Имаме знак минус. Умножаваме го по детерминантата на неговата подматрица, която е ето това тук. После имаме плюс. Сменяме знака и после умножаваме този елемент по детерминантата на неговата подматрица, която е тази тук. Значи това тук е общият случай, който току-що дефинирах. Но знаем, че никога не е удовлетворяващо да работим с абстракции или общи случаи. Предпочитаме конкретен пример. Всъщност, преди да направя това, ще ти представя един термин. Това е т.нар. рекурентна формула. Ако изучаваш магистратура по компютърни науки, ще срещаш това доста често. Рекурентната функция или рекурентната формула се дефинира чрез самата себе си. Но това, което използваш в дефиницията, е малко по-проста версия на нея, и като продължаваш напред, или като продължаваш да я възпроизвеждаш, получаваш все по-прости и по-прости версии, докато не стигнеш до някаква базова версия. В този случай нашият базов случай е случаят с матрица 2 х 2. Продължаваш по този начин и евентуално ще стигнеш до детерминантата на матрица 2 х 2, която знаем как да намерим. Така че това е една рекурентна дефиниция. Но да приложим това, защото смятам, че така нещата ще станат по-конкретни. Да вземем – тук ще има много изчисления, но мисля, че ако внимаваме, ще се получи. Да вземем матрица 4 х 4: 1, 2, 3, 4. 1 – ще сложа няколко нули, за да опростя малко изчисленията – 0, 1, 2, 3, а после 2, 3, 0, 0. Да намерим детерминантата на тази матрица. Това е детерминантата на тази матрица. Ако сложа скоби, това означа, че е матрица. Хайде да намерим детерминантата на тази матрица. Тя ще е равна на... по определението тя ще е равна на 1 по детерминантата на тази матрица тук, когато премахнем този ред и този стълб. Значи ще бъде 1 по детерминантата на [0;2;0;1;2;3;3;0;0]. Това е просто ето това тук, ето тази матрица. После ще имам 2, но трябва да сменя знака. Значи минус 2 по детерминантата, когато премахна този ред и този стълб, това е 1, 2, 0. Игнорирам нулата, защото тя е в същия стълб като елемента 2, 1, 2, 0, 0, 2, 3 и после 2, 0, 0. След това отново сменям знака. Беше минус, сега ще е отново плюс. Значи този елемент – плюс 3 по детерминантата на неговата подматрица. Пропускаме този ред и този стълб, получаваме 1, 0, 0. Получаваме 0, 1, 3. Пропускам този стълб всеки път. После имаме 2, 3, 0, ето така. Почти сме готови. Още един последен стълб. Ще използвам друг цвят. Досега не съм използвал синьо. След това ще имаме минус 4. Спомни си, плюс, минус, плюс, минус 4 по детерминантата на неговата подматрица. Това ще е ето това тук. Значи е 1, 0, 2, 0, 1, 2, 2, 3, 0, ето така. И сега стигнахме до случая с матрица 3 х 3. Можем да използваме определението за 3 х 3, но можем и да продължим да прилагаме рекурентното определение. Значи това ще е равно на... ще го запиша ето тук. Това е 1 по – колко е тази детерминанта? Тази детерминанта ще бъде о по детерминантата на подматрицата [2;3;0;0]. Това е ето това тук. После имаме минус 2, минус това 2 – спомни си, сменяме знака – плюс, минус, плюс, значи минус 2 по детерминантата на неговата подматрица, която е |1;3;3;0|= И накрая плюс 0 по детерминантата на неговата подматрица, която е ето това тук: |1;2;3;0|. После имаме този елемент ето тук. Както виждаш, това може да стане малко монотонно, но ние няма да се отчайваме. Значи минус 2 по 1 по подматрицата, това е ето това тук – по детерминантата на подматрицата – по |2; 3; 0;0|. После минус 2 по... махаме този ред и този стълб – |0;3;2;0|. След това плюс 0 по |0;2;2;0|. Това е ето това тук. Вече сме почти наполовина, поне засега. Сега имаме това следващото, значи имаме плюс 3. Поставям скоби. После ще имаме 1 по подматрицата... или може да я нарека поддетерминантата. 1 по детерминантата |1;3;3;0|, нали? Пропускаме реда и стълба на този елемент, който идва ето тук. После минус 0 – пропускаме този ред и стълб, по |0;3;2;0|. После имаме плюс 0 по поддетерминантата |0;1;2;3|. Три-четвърти от работата. Един последен елемент. Надявам се, че не допускам грешки по невнимание. Минус 4 по, 1 по |1;2;3;0|. Минус 0 по – махаме тези двете – |0;2;2;0|. После плюс 2 по |0;1;2;3|, нали? Плюс 2 – премахваме тези – по |0;1;2;3|. Сега дефинирахме или определихме детерминантата на тази матрица чрез няколко матрици 2 х 2. Надявам се, че виждаш в този пример какво означава рекурентност. Сега да намерим на какво е равно това. Детерминантата винаги е просто едно число. Ще избера хубав, ярък цвят. Това е 0 по – няма значение. 0 по каквото и да е е нула. 0 по каквото и да е е нула. 0 по каквото и да е е нула. 0 по каквото и да е е нула. Само опростяваме това. После това тук е 0, защото е 0 по това. 0 по това е 0. Какво ни остана? Това е равно на 1 по... всичко, което остана, е минус 2 по... и колко е детерминантата? Тя е 1 по 0, което е 0. Това е 0... ще го запиша. Това е 1 по 0, което е 0, минус 3 по 3, става 0 минус 9, значи –9. Това тук е просто –9. Значи –2 по –9. Това е първото нещо. Ще го опростя след секунда. Сега да видим този член ето тук. Това е –2 по... сега колко е детерминантата? 2 по 0, минус 0 по 3. Това е 0 минус 0. Значи е 0. Този член стана 0, значи можем да го игнорираме. Този член ето тук е 0 по 0, което е 0, минус 2 по 3. Значи това е –6. Значи това е –2 по... това тук е –6. Имаме –2 по –6, което е плюс 12. Ще запиша само +12. Това –2 по това –2 ето тук. После имаме плюс 3. После имаме този първия член, който е 1 по 0, което е 0, минус... ще сложа скоби... 1 по 0, което е 0, минус 3 по 3, което е минус 9, по 1. Значи това е –9. Всичко друго е 0. Почти сме на финала. Имаме –4. Да видим, това е 1 по 0, което е 0, минус 3 по 2, значи –6. Значи това тук е –6. Минус 6, това е 0, и после ето това тук. Значи имаме 0 по 3, което е 0, минус 2 по 1. Това е –2, и после имаме –2 по плюс 2, което е –4. Сега само да видя, че сме пресметнали вярно. Това е 1 по +18, значи това е 18, нали? Минус 2 по –9. Това тук е минус 24. Това тук е –27. После ето тук, да видим, това е минус 10. Това е минус 10. –4 по –10 е равно на +40. Да видим можем ли да опростим малко. Ако го опростим малко – не искам да правя грешки от невнимание точно накрая. Значи 18 минус 24, 24 минус 18 е 6, тогава това е –6, нали? 18 минус 24 е –6. После – ще използвам зелено – каква е разликата? . Ако имаме –27 плюс 40, това е 13, нали? Това е плюс 13. Значи –6 плюс +13, това е равно на 7. И сме готови! След всички тези пресмятания, надявам се, че не съм допуснал грешка. Детерминантата на тази матрица тук е равна на 7. Детерминантата е равна на 7. И нещо полезно, знаем, че тази матрица е обратима, защото нейната детерминанта не е нула. Надявам се, че това ти е било полезно.