Правило на Сарус за намиране на детерминанта

Не ми се иска да тъпча на едно място, като показвам всички различни начини за намиране на детерминанта, но може би ще е полезно да го направя, защото ще видиш как става по различни начини и в различен контекст. Мислех си да ти покажа поне, че това, което разглеждаме дотук, съвпада до голяма степен с начина, по който определяме или намираме детерминанти, който може би ти е познат от часовете по алгебра. Това се нарича правилото на Сарус. И аз ще го изведа. Да кажем, че искаме да намерим една детерминанта. Да кажем, че искаме да намерим тази детерминанта. Матрицата е [a;b;c;d;e;f;g;h;i]. Знаем как можем да я намерим. Това е равно на – хайде да използваме първия ред, а по детерминантата на [e;f;h;i], минус b по детерминантата на [d;g;f;i], плюс с по детерминантата на [d;e;g;h]. На какво е равно това? Това е равно на а – само да го напиша – а по (e по i – f по h). Това ще е равно на –b по (d по i – f по g). Това ще бъде +с по (d по h – e по g). и ако разкрием скобите, ще получим, че това е равно на a по e по i, минус a по f по h. минус b по d по i, минус по минус, значи плюс b по f по g, плюс c по d по h минус c по e по g. Сега ще групирам положителните и отрицателните членове. Този член е положителен, този член е положителен, и този член е положителен. Това е равно на a по e по i плюс b по f по g, плюс c по d по h. Това са положителните членове. Сега отрицателните членове. Това са този член, този и този член. Имаме минус a по f по h, минус b по d по i, минус c по e по g. Така че това е формулата за детерминантата на тази матрица ето тук. Да видим как изглежда на практика. Ще я препиша. Ще препиша нашата матрица. Ще използвам зелено. Значи имаме a, b, c, d, e, f, g, h, i. Искаме да намерим нейната детерминанта. И сега ще ти покажа нещо интересно. Какво е a по e по i? Това е произведението на този елемент, този и този елемент. Значи това е по този диагонал ето тук. А какво е b по f по g? Това са този елемент, този и този елемент тук долу. ... Това е все едно да си представиш, че като идваш от тази страна, идваш от тази страна, идваш от тази страна. Има такива видео игри, в които когато излезеш от едната страна, се показваш от другата страна, ето така. Това също е диагонал. Даже още по-добър начин да го покажа е ако препиша тези два стълба. Ще разширя тази детерминанта. Това не е официална терминология, но мисля, че ще разбереш какво се опитвам да направя. Ако запиша тези първите два стълба още веднъж, a, d, g, b, e, h. Това тук е b по f по g, това е ето това тук, този диагонал ето тук. После може би се досещаш какво ще се случи. Къде е c по d по h? Това е този диагонал. Този диагонал ето тук. Взимаме това произведение, събираме го с този диагонал, събираме го с това произведение. После изваждаме ето тези. А какво са тези? Какво е a по f по h? Ето това тук. Значи вадим a по f по h, а после вадим b по d по i. b по d по i е ето тук. После имаме c по e по g, което е ето това тук. Правилото на Сарус – това звучи като нещо от "Властелинът на пръстените". Правилото на Сарус е всъщност бърз начин за запомняне на една техника. Записваш отново двата стълба, и казваш: това произведение плюс това произведение, плюс това произведение, минус това произведение, минус това произведение, минус това произведение. Да го използваме с матрица 3 х 3, за да стане ясно, че правилото на Сарус е удобно. Нека да имаме матрицата, търсим детерминантата на матрицата [1;2;4;2;–1;3;4;0;–1]. Търсим нейната детерминанта. По правилото на Сарус можем да препишем тези първите два стълба. Значи 1, 2, 2, минус 1, 4, 0. Преписваме първите два стълба. За да определим тази детерминанта, взимаме това. Какво ще е то? 1 по –1 по –1. Това е просто 1. Минусите се неутрализират. Плюс това произведение ето тук. Трябва да работя малко по-старателно. Какво е това? 2 по 3 по 4. 2 по 3 е 6. 6 по 4 е 24, значи плюс 24. После взимаме това тук. 4 по 2 по 0, всичко по 0 е 0. Значи това е плюс 0. После изваждаме тези произведения. Имаме 4 по 4, по –1. Това е –16. Това е –16, но тук имаме изваждане. Значи 4 по –1, по 4 е –16. Но понеже ще го извадим, то ще стане плюс 16. Значи това е 16. После имаме 0 по 3 по 1, което ще стане 0. Това е минус 0, което ще игнорираме. Можем да кажем, че плюс 0 или минус 0 е едно и също. После имаме минус 1 по 2, по 2. Това 4 по –1, което е –4. Но когато се движим в тази посока, от горе вдясно до долу вляво, тогава изваждаме. Значи това е –4, но понеже ще го извадим, то става плюс 4. И стойността на нашата детерминанта е равна на: по правилото на Сарус получаваме, че 16 плюс 4 е 20. 20 плюс 25 е равно на 45. Това всъщност е един по-бърз начин да изчислим детерминантата на тази матрица 3 х 3. И искам да ти покажа, че това е напълно еквивалентно на определението, което дадохме преди няколко урока.