Изследване на решението на Ax = b

Дадена е една линейна трансформация Т от R2 в R2. Това е R2 и после образът отново е в R2. Т просто изобразява произволен член на R2 в друг член на R2, ето по този начин. Сега ще дефинирам Т. Това е линейна трансформация. Ще я дефинирам. Взимам трансформацията на някакъв член на R2, което е равнозначно на умножаването му по тази матрица, по матрицата [1; –3;–1;3]. За да разберем по-добре тази трансформация, нека да помислим за всички стойности, които могат да се съдържат в нейното множество на образите. Нека [1;–3;–1;3] по произволен вектор от множеството на първообразите – значи по вектор [х1;х2] – това е равно на някакъв друг вектор в множеството на образите. Ще го нарека вектор b. Вектор b принадлежи на R2. Той е равен на [b1;b2]. Това, което правя тук, по същество е – ще нарека тази матрица А и просто искам да намеря какви са всички възможни решения за уравнението А по х равно на b. Искам да намеря всички възможни вектори b в този случай. Ако трябва да реша това уравнение за някакво конкретно b, тогава аз ще преобразувам тази матрица в ешелонна форма. Първо ще я превърна в разширена матрица. Значи взимам [1; –3; –1; 3]. После ще я разширя с члена на множеството на образите, на който искаме да е равно това. Значи b1, b2. После ще преобразувам матрицата в ешелонна форма. Как става това? Как ще я преобразуваме в ешелонна форма? Ще запазя първия ред непроменен. 1, –3 и b1. После втория ред ще заместя с втория ред плюс първия ред. Значи –1 плюс 1 е 0. 3 плюс –3 е 0. После b 2 плюс b 1 е – можем да го оставим b1 + b2. Така че това ще има решения. Получихме интересна ситуация. Вече сме виждали това. Имаме ред от нули. Единственият начин това наистина да има някакви решения е ако това нещо тук също е равно на 0. Значи единствените членове b, които принадлежат на Rm, за които има решение, са тези, при които като съберем техните два компонента – нека вектор b да е равен на [b1;b2] – тези, за които сумата на двата компонента е нула. b1 плюс b2 трябва да е равно на 0. Можем да напишем също, че b2 трябва да е равно на –b1. Ако искаме да изобразим множеството на образите – да го направим. Винаги искам да разглеждаме нещата абстрактно, но понякога е полезно да изобразим един реален пример. Нека множеството на образите да е R2. Ще начертая координатните оси. Нека това да е оста b1, а това оста b2. Мога да ги означа като х и у, но сега ги означавам като b1 и b2. Кои са всички членове на множеството на образите, за които има решение, които представляват изображение? b2 трябва да е равно на –b1. Ще изглежда ето така. Това ще бъде права с наклон –1. Това са всички b, за които има решение. Защото ако не са върху тази права, ако не принадлежат на множеството на образите – това е множеството на образите ето тук, R2. R2 е нашето множество на образите, но искам да поясня, че това е множеството на образите, което аз начертах. Това е множеството, в което изобразяваме. Ясно е, че ако нещо не лежи на тази права, ако изберем вектор, сборът на чиито компоненти не е 0, или ако не са с противоположен знак, ако изберем някакъв вектор ето тук в нашето множество на образите, и ако се опитаме да решим това уравнение, тогава 0 ще е равно на някакво число, различно от нула, и така няма да получим решение. Засегнахме това в предишното видео. В този случай можем да кажем, че това тук е образът при нашата трансформация. Можем да го разглеждаме и по друг начин. Очевидно, ако всички... Това е нашето множество на образите. Ще изобразя множеството на първообразите. Ако взема някакъв член на R2, който винаги се изобразява върху точка от тази права тук, очевидно всяка точка от тази права ще бъде образ на повече от един вектор. Значи това не е трансформация "върху" (сюрекция). Видяхме това в предишното видео. За да бъде една трансформация "върху", когато преобразуваме матрицата в ешелонна форма, не можем да имаме ред, който съдържа само 0. Друг начин да го формулираме е, че в ешелонна форма всеки ред трябва да съдържа водещ елемент. Сега да се фокусираме върху векторите b, за които реално има решение. Да се фокусираме върху тези вектори b, за които сборът на b1 плюс b2 е равен на 0. Можем да имаме вектор b, не знам, който да бъде b = [5; –5], например. Очевидно b = [0;0] също става. Може да е [1;–1]. Може да е това тук. Да разгледаме един от тези вектори и да видим колко членове на нашето множество на първообразите се изобразява в тях. Ако вземем този член ето тук, и после приложим това уравнение тук, имаме само едно условие. Приемаме, че това ще е равно на 0. Да приемем, че разглеждаме вектор b в нашия образ. Да приемем, че имаме някакъв вектор, за който можем да получим решение. Това е b1 + b2 = 0. Какви са нашите условия? Какво ще се изобрази в нашия вектор b, който разглеждаме? Ако вземем само горното уравнение тук, имаме 1 по х1 – ще сменя цвета – минус 3 по х2, равно на b1. После този ред не ни дава ограничения, защото съдържа само нули. Значи това е единственото ограничение за член на нашето множество на първообразите, който ще се изобрази в някакъв конкретен вектор b, който избрахме, някакъв конкретен вектор b, който удовлетворява това условие. Можем да запишем множеството на решенията – ще препиша това като х1 = b1 плюс (3 по х2). Ако искаме да запишем цялото множество на решенията, то ще изглежда ето така. [х1;х2] равно на вектор [b1; 0] плюс... х1 е равно на b1 плюс 3 по х2, значи плюс х2 по [3; 1] х2 е равно просто на х2. Това е свободна променлива. Значи х2 е равно на 0 плюс х2 по 1. Тук един вид казваме, че това е трансформация, която изобразява върху тази права тук всички вектори от множеството на образите, за които техните два компонента имат сбор нула. Да допуснем, че наистина имаме някой от тези вектори. Първо, това определено не е трансформация "върху". Да приемем, че разглеждаме някой от тези вектори. Ако избера един конкретен вектор от тези за конкретно b – ще го запиша – което е решение на А по х равно на b, множеството от решенията ще е равно на това тук. То ще е равно на векторите [х1;х2], които са равни на вектор [b1; 0] – b1 е първият компонент на b – плюс х2, по вектор [3;1]. Ако помислиш върху това, ако изберем конкретно b – нека изберем... ще начертая това, защото мисля, че е хубаво да си ги представим. Може би ще ги начертая ето така. Не искам да правя повече балони. Ще начертая координатни оси. Координатните оси изглеждат ето така. Знаем, че образът при нашата трансформация е правата, която има наклон –1, защото двата елемента трябва да са равни помежду си и с обратни знаци. Ще избера някакво конкретно b, за което има решение. Ще избера това b ето тук. За да има то решение, неговите компоненти трябва да са равни и с обратен знак. Да кажем ,че това е [5; –5]. Това е нашият вектор b. Току-що показах, какво представлява множеството от решенията – искаме, можем да намерим кой член от множеството на първообразите се изобразява в този вектор. Да помислим кой вектор от множеството на първообразите се изобразява в този вектор. Да помислим какво от множеството на първообразите се изобразява в тази точка, в този конкретен вектор b. Това са всички х, които удовлетворяват уравнението А по х равно на [5;–5]. Това означава, че... множеството от решенията е равно на... Значи [х1; х2] е равно на [b1; 0] плюс… е равно на [5;0] плюс х2 по вектора [3; 1]… значи плюс всяка мащабирана версия на вектора [3;1]. Множеството от решенията ще бъде – взимаме вектор [5;0] – може би вектор [5;0] определя тази позиция ето тук – и после го събираме с мащабираните версии на вектор [3;1]. Вектор [3;1] изглежда ето така, 1, 2, 3 и нагоре 1. Вектор [3;1] изглежда ето така. Ако добавим мащабираните версии на това – те ще стърчат ето така или може да са отрицателни така – ако ги съберем с вектор [5;0], тогава реално – ще се опитам да го начертая старателно – ще получим множество на решенията, което изглежда ето така. Ако изберем конкретно b тук, за което има решение, просто казваме, че всичко на тази права ще се изобрази в тази точка в множеството от решенията. Действително, ако изберем друга точка, да кажем, че изберем точката (–5;5). Тогава множеството от решенията, което съдържа изображението на тази точка – първият член ще бъде –5. Това ще е ето тук. Всички тези ще се изобразят ето тук. Това е много интересно. Искам да кажа, че ние правим много абстрактни неща, и че е удовлетворяващо, ако понякога виждаме някои конкретни примери. Но аз правя всичко това с определена цел. Искам да разбера какво представлява множеството на решенията на едно общо нехомогенно уравнение като това. За да го разберем по-добре, нека си представим множеството на решенията, ако избера този вектор тук, ако избера нулевия вектор – какво ще е тогава множеството на решенията? То ще бъде... Ако А по х е равно на 0, тогава множеството на решенията ще бъде вектор [0;0] плюс х2 по (3;1). И какво е това? Това е просто нулевият вектор, значи ето това тук. Той ще е ето тук, и просто получаваме мащабирани версии на вектор [3;1]. Ще изглежда приблизително така. Какво е това? Какво е множеството от решенията на уравнението А по х равно на 0? Това е нулевото пространство. Това, по определение, е нулевото пространство на матрицата А. Обърни внимание – като това е важният резултат от това видео – за всяко решение – ние избираме вектори b, за които има решение, защото ги избираме от тази права. Избираме ги сред образите в множеството на образите. Множеството от решенията за всяко уравнение А по х равно на b, за b, за което има решение, то всъщност е равно на изместената версия на нулевото множество, или на нулевото пространство. Това ето тук е нулевото пространство. Това тук е нулевото пространство за всяко реално число х2. Всяка мащабирана версия на вектор [3;1] е нулевото пространство. Току-що ти го показах ето тук. То ще е ето това. Всички тези други множества на решенията са просто някакъв конкретен вектор, някакъв конкретен вектор х, плюс нулевото пространство. Очевидно, този вектор сам по себе си също е решение на А по х равно на b, защото можем да направим х2 да е равна на 0. По принцип – като аз още не съм го доказвал подробно, но се надявам, че можеш да схванеш логиката. Решението – ще направя това в следващото видео, просто защото виждам, че ми свършва времето. Ако приемем, че А по х = b има решение – в примера, който решихме, ние допуснахме че има решение, ако изберем една от тези точки тук (от правата). Ако допуснем, че има решение, но ако изберем някаква точка извън образа (извън правата), тогава няма да имаме решение. Но ако приемем, че А по х = b има решение, тогава множеството на решенията ще бъде равно на някакъв конкретен вектор – можем да си го представим като множество от един вектор ето тук – което е обединението на това множество с нулевото пространство на тази матрица ето тук. Още не съм доказвал това, но се надявам, че логически разбираш защо това е вярно. Ние просто го решихме за конкретни примери, които имат решения. Казахме, че това ще приеме тази форма. И ти показах, че това е нулевото пространство. Причината да направя това е защото ние сме разглеждали обратимостта. За да бъде обратима, трансформацията трябва да бъде „върху“ и „1 към 1“ (сюрективна и инективна). За да бъде нещо "1 към 1", трябва да има най-много едно решение, което изобразява в конкретен вектор. Може да няма нито едно. Но трябва да има най-много едно. За да имаме най-много едно решение – множеството от решенията винаги ще бъде равно на това, винаги ще имаме това решение – за да имаме най-много едно решение, нулевото пространство не трябва да съдържа нищо. Можем да имаме само нулевия вектор. Това означава, че нашето нулево пространство на А трябва да е тривиално, или да е празно, или да съдържа само нулевия вектор. Ще разгледам това по-подробно в следващия клип, но мисля, че когато се прави много теоретично, понякога се изгубва логиката. Но това е много интересен резултат, и аз мисля, че вече разбираш, че това ни води към условията за обратимост.